为啥代数几何里只见代数，不见几何？

[FoxMe]

代数几何的主要研究对象是多项式，就是用抽象代数研究多项式。有的书里画寥寥几副图，有的书里干脆压根儿没有。以前没学过代数几何，感到很困惑。感觉数论，代数，代数几何都可以归到代数一类。

[forecasting]

你觉得几何应该是啥样子？曲线，曲面等等算不算几何？
代数几何有几种讲法，代数方法，分析方法，函数方法等等，都有传统。估计你看的或者学的著作是以代数方法展开的吧。

[TheMatrix]

代数几何的主要研究对象是多项式，就是用抽象代数研究多项式。有的书里画寥寥几副图，有的书里干脆压根儿没有。以前没学过代数几何，感到很困惑。感觉数论，代数，代数几何都可以归到代数一类。

我觉得：
几何不就是曲面吗？而代数几何是特殊曲面 - 由多项式决定的曲面。而代数曲面可以逼近任何可微曲面，就像多项式可以逼近任何连续函数一样。而且能计算，比较具体。另一方面，放松域的限制，研究数域，有限域，也是受几何那边定理的指导吧。

[混元形意太极门]

高维的曲面咋画图？

我觉得：
几何不就是曲面吗？而代数几何是特殊曲面 - 由多项式决定的曲面。而代数曲面可以逼近任何可微曲面，就像多项式可以逼近任何连续函数一样。而且能计算，比较具体。另一方面，放松域的限制，研究数域，有限域，也是受几何那边定理的指导吧。

[TheMatrix]

高维的曲面咋画图？

高维曲面画不了图。很难想象。

[FoxMe]

你觉得几何应该是啥样子？曲线，曲面等等算不算几何？
代数几何有几种讲法，代数方法，分析方法，函数方法等等，都有传统。估计你看的或者学的著作是以代数方法展开的吧。

噢，是这样。感觉代数几何是希尔伯特创立的，有个定理叫Nullstellensatz (零点定理), 很好奇为啥英文书里也用这个德语词，不叫"theorem of zeros"。

[FoxMe]

我觉得：
几何不就是曲面吗？而代数几何是特殊曲面 - 由多项式决定的曲面。而代数曲面可以逼近任何可微曲面，就像多项式可以逼近任何连续函数一样。而且能计算，比较具体。另一方面，放松域的限制，研究数域，有限域，也是受几何那边定理的指导吧。

噢，多谢。我感觉：

代数数论是研究一元多项式；
代数几何是研究多元多项式。

代数几何为啥看重projective variety,感觉跟affine variety区别不是很大，为啥要单独拿出来研究？无非是定义

(x0:x1:x2) = (1:x1/x0:x2/x0)

[TheMatrix]

噢，多谢。我感觉：

代数数论是研究一元多项式；
代数几何是研究多元多项式。

代数几何为啥看重projective variety,感觉跟affine variety区别不是很大，为啥要单独拿出来研究？无非是定义

(x0:x1:x2) = (1:x1/x0:x2/x0)

嗯。对。我觉得也可以说代数几何离几何越来越远了，离代数越来越近了，甚至主要目的就是代数了。这个学科从几何中来，但是在换系数的时候，发现对代数有很大的限定，这些限定能导出代数上的定理。

projective variety在projective space之中，我觉得最大的好处就是compact，有限。就像画曲线图，很多曲线延申到无穷，但是做一个坐标变换，可以把它看成是球面上的曲线 - 无限变有限了，连无穷远点都看得见。而且什么也不耽误，没有少任何信息 - 无限在有限里面。

[萧武达]

几何是研究对象，代数是研究手段？
用代数的方法研究几何问题的意思？

万物皆数 - 几何，空间也可以代数？

[FoxMe]

是，数形不可分离。我觉得代数几何的出发点和解析几何是相同的：

解析几何是用初等代数的方法来研究几何，比如中学的双曲线；
代数几何是用抽象代数的方法来研究几何，比如大学的椭圆曲线（一般研究生才学）；

微分几何是用微积分的方法来研究几何吗？我没学过。比如求一根曲线的长度或曲面面积，属于微分几何吗？

几何是研究对象，代数是研究手段？
用代数的方法研究几何问题的意思？

万物皆数 - 几何，空间也可以代数？

[FoxMe]

嗯。对。我觉得也可以说代数几何离几何越来越远了，离代数越来越近了，甚至主要目的就是代数了。这个学科从几何中来，但是在换系数的时候，发现对代数有很大的限定，这些限定能导出代数上的定理。

projective variety在projective space之中，我觉得最大的好处就是compact，有限。就像画曲线图，很多曲线延申到无穷，但是做一个坐标变换，可以把它看成是球面上的曲线 - 无限变有限了，连无穷远点都看得见。而且什么也不耽误，没有少任何信息 - 无限在有限里面。

噢，维基上这个图应该就是这个意思

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic ... ve_variety

有两个问题：球面上的红线对应于y=x^2，为啥有两根？感觉不对劲，应该只有一根，连接上下顶点。
一般说二维projective space P^2=S^2=A^2 U {无穷}，这里球面S^2的中心在原点，上下顶点都是无穷。而这个图中上顶点是无穷，下顶点是原点。

[TheMatrix]

嗯。对。我觉得也可以说代数几何离几何越来越远了，离代数越来越近了，甚至主要目的就是代数了。这个学科从几何中来，但是在换系数的时候，发现对代数有很大的限定，这些限定能导出代数上的定理。

代数几何，以代数的方法研究几何，谁是手段谁是目的，这也是可以转换的。平等的看，可以说是代数和几何相互作用。作用的结果，既可以研究几何，也可以研究代数。有点像泛函里面f(x)，也可以换一个角度看成是x^*(f)。

[FoxMe]

代数几何，以代数的方法研究几何，谁是手段谁是目的，这也是可以转换的。平等的看，可以说是代数和几何相互作用。作用的结果，既可以研究几何，也可以研究代数。有点像泛函里面f(x)，也可以换一个角度看成是x^*(f)。

有道理。

我原来计划学topos/scheme，一直没学懂，目标定得太高了。现在降低目标，先把variety学会，这里代数和几何的关系比较具体。

[TheMatrix]

有道理。

我原来计划学topos/scheme，一直没学懂，目标定得太高了。现在降低目标，先把variety学会，这里代数和几何的关系比较具体。

代数几何我也没学会，没有具体的认知，不得其门而入啊。

[TheMatrix]

微分几何是用微积分的方法来研究几何吗？我没学过。比如求一根曲线的长度或曲面面积，属于微分几何吗？

微分几何我觉得主要是研究整体 - 实际上是拓扑。微分几何字面上是以微积分的方法研究几何，也就是曲面上的微积分。但是曲面上的微积分和平面上的微积分实际上没有区别，曲面上的微积分要拉到平面上才能研究。微分几何独特的，是研究曲面整体的性质，也就是拓扑。它是给拓扑加上光滑和度规的性质，可以说是加装把手，反过来还是研究拓扑 - 因为它结论都是拓扑的。

[FoxMe]

代数几何我也没学会，没有具体的认知，不得其门而入啊。

需要高人指点。比如Zariski topology，定义很简单，但是不懂是干什么的？

Zariski topology. We have seen that affine algebraic sets in A^n satisfy the following conditions:
(i) A^n and ∅ are affine algebraic sets. (The empty set is the vanishing set of a non-zero constant polynomial.)
(ii) A finite union of affine algebraic sets is an affine algebraic set.
(iii) An arbitrary intersection of affine algebraic sets is an affine algebraic set.
These are precisely the conditions satisfied by the closed sets in a topological space. Therefore, we can define a topological space in which the underlying set is An and the closed sets are the affine algebraic sets. This is called the Zariski topology.

[FoxMe]

微分几何我觉得主要是研究整体 - 实际上是拓扑。微分几何字面上是以微积分的方法研究几何，也就是曲面上的微积分。但是曲面上的微积分和平面上的微积分实际上没有区别，曲面上的微积分要拉到平面上才能研究。微分几何独特的，是研究曲面整体的性质，也就是拓扑。它是给拓扑加上光滑和度规的性质，可以说是加装把手，反过来还是研究拓扑 - 因为它结论都是拓扑的。

噢，大学之后我就没学过几何了。

[forecasting]

需要高人指点。比如Zariski topology，定义很简单，但是不懂是干什么的？

Zariski topology. We have seen that affine algebraic sets in A^n satisfy the following conditions:
(i) A^n and ∅ are affine algebraic sets. (The empty set is the vanishing set of a non-zero constant polynomial.)
(ii) A finite union of affine algebraic sets is an affine algebraic set.
(iii) An arbitrary intersection of affine algebraic sets is an affine algebraic set.
These are precisely the conditions satisfied by the closed sets in a topological space. Therefore, we can define a topological space in which the underlying set is An and the closed sets are the affine algebraic sets. This is called the Zariski topology.

对照拓扑的定义看，https://en.wikipedia.org/wiki/Topology

拓扑的定义主要就是为了定义拓扑等价，可以把拓扑等价再进一步特例化，找几个欧式几何，黎曼几何，复几何等等的例子。

我不算高人，随便说说的。

[FoxMe]

看了看，拓扑空间的基与线性空间的基的定义不同，它是用集合的并来定义的：

a basis of a topological space is a family B of open subsets of X such that every open set of the topology is equal to the union of some sub-family of B.

对于Zariski topology，复空间C^n还好理解：

The Zariski topology of \mathbb {C} ^{n} is the topology that has the algebraic sets as closed sets. It has a base formed by the set complements of algebraic hypersurfaces.

但是下面这个就不知所云了，素理想怎么会形成一个拓扑空间？

The Zariski topology of the spectrum of a ring (the set of the prime ideals) has a base such that each element consists of all prime ideals that do not contain a given element of the ring.

[TheMatrix]

看了看，拓扑空间的基与线性空间的基的定义不同，它是用集合的并来定义的：

a basis of a topological space is a family B of open subsets of X such that every open set of the topology is equal to the union of some sub-family of B.

对于Zariski topology，复空间C^n还好理解：

The Zariski topology of \mathbb {C} ^{n} is the topology that has the algebraic sets as closed sets. It has a base formed by the set complements of algebraic hypersurfaces.

但是下面这个就不知所云了，素理想怎么会形成一个拓扑空间？

The Zariski topology of the spectrum of a ring (the set of the prime ideals) has a base such that each element consists of all prime ideals that do not contain a given element of the ring.

素理想就对应algebraic set - 素理想的零点就是一个algebraic set。一个素理想一般对应一个曲线，曲面，或者一个点。比如一个y-x²，一方面，它是一个二元函数素理想（的生成元），另一方面，它的零点（抛物线）是一个algebraic set。