新未名空间

TheMatrix 写了： 2024年 9月 18日 17:00 可以这样看：

假设有一个modular form f，我们要对它做一些操作，这个操作必须是容易在傅里叶系数上实现的。

start with f(pz)。这个傅里叶系数上很容易操作的。

但是它不modular。它不modular with respect to the full modular group SL(2,Z)。它modular with respect to a subgroup of the modular group。那也不行，我们要求它必须modular with respect to the full modular group SL(2,Z)。

也就是看它到底哪里不modular。

用T和S来作用它。

T作用它，等于 f(pTz)=f(p(z+1))=f(pz+p)=f(pz)。所以在T下modular。虽然它的周期拉长了。

S作用它，等于 f(pSz)=f(-p/z)=f(S.(z/p))=(z/p)^kf(z/p)。

出来了一个新的东西 f(z/p)。把它包含进去，希望能闭环。

有它就要有 f(Tz/p)，也就是f((z+1)/p)。这又是一个新的东西。

再做T，f(TTz/p)，就是 f((z+2)/p)。。。一直做到 f((z+p-1)/p)，再做就循环了。

所以这就是全部。。。对T是全部。

然后还要对S闭环。。。这里正好是已经对S闭环了。也许可以对S不闭环，那就需要对S进行扩展。

也就是对S和T交替扩展直至闭环。

然后还要拼凑系数。

这样就得到一个新的modular form。。。的产生方式。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 16日 16:27 第一项对应：
a₀+a₁q^p+a₂q^2p+a₃q^3p+...

第二项对应：
a₀+a_pq+a_2pq²+a_3pq³+...

其他的a_n项被互相cancel掉了。

所以可以写成
Σ_n p^k-1a_nq^np+a_npqⁿ

TheMatrix 写了： 2024年 9月 19日 16:06 再用这个证明 T_pT_q = T_qT_p。

这个属于index tracking，也不容易。

也就是如果modular form f的傅里叶系数是a(n)，那么 T_qT_pf的傅里叶系数是什么的问题。

写成a(n) instead of a_n是为了后面代入，这里实际上是function composition，用下标会很困扰。

T_pf的傅里叶系数为b(n)：
b(n)=a(np) when n != 0 mod p
b(n)=p^k-1a(n/p)+a(np) when n = 0 mod p

这个公式同样适用于q。

然后是T_qT_pf的傅里叶系数为 c(n)：
c(n)=b(nq) when n != 0 mod q
c(n)=q^k-1b(n/q)+b(nq) when n = 0 mod q

这样就可以把b(n)的表达式代入进去。用下标写的话就很难了。

代入进去就很容易发现，p和q的顺序不影响傅里叶系数。所以就有了T_pT_q = T_qT_p。

因此就有了Hecke operator T_n对任意正整数n的定义。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 13:52

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 14:30

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 14:47 我前面说the space of modular form是一个algebra，这是错的。因为不同weight的modular form是不能相加的。

这里的M_*不是the space of modular form。而是the direct sum of the space of weight-k modular form。所以不是元素直接相加，而是direct sum相加。加出来不再是一个函数了。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 13:49

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 14:30

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 19:06 也就是说M_*这个函数空间，是由G₄和G₆生成的。也就是G₄和G₆的polynomial。而其中的齐次项为modular form。

S_*是cusp form space的direct sum。它是一个subalgebra。而它还是一个ideal。而且是principal ideal。它的generator是Δ。

Δ=c(G₄³-G₆²)

这都不是很trivial。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 19:49 Δ的傅里叶系数是τ(n)：



τ(n)的前几个数是：
1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168

Δ是Hecke operator的eigenform，也就是eigenvector。

也就是Δ和T_nΔ的傅里叶系数相同 - 提出一个常数之后。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 21:22 Hecke operator T_p 当 p 为素数时，对傅里叶系数的变换比较简单：

f的傅里叶系数为a(n)，那么T_pf的傅里叶系数b(n)
= a(np) 如果 n 不能整除 p
= a(np) + p^k-1 a(n/p) 如果n能整除p

比如p=5，k=12 （Δ的weight）
n=1，那么b(1)=a(5)
n=2，那么b(2)=a(10)
n=3，那么b(3)=a(15)
n=4，那么b(4)=a(20)
n=5，那么b(5)=a(20)+5¹¹ a(1)
n=6，那么b(6)=a(30)
n=7，那么b(7)=a(35)
n=8，那么b(8)=a(40)
n=9，那么b(9)=a(45)
n=10，那么b(10)=a(50)+5¹¹ a(2)
....

b(n)/a(n)就是T₅的eigenvalue。

这个规律确实成立。

而且还可以T₂，T₃，...

这个规律也对Δ的傅里叶系数有很强的限制。肯定是可以递推的。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 19:49 Δ的傅里叶系数是τ(n)：



τ(n)的前几个数是：
1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168

Δ是Hecke operator的eigenform，也就是eigenvector。

也就是Δ和T_nΔ的傅里叶系数相同 - 提出一个常数之后。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 21:22 Hecke operator T_p 当 p 为素数时，对傅里叶系数的变换比较简单：

f的傅里叶系数为a(n)，那么T_pf的傅里叶系数b(n)
= a(np) 如果 n 不能整除 p
= a(np) + p^k-1 a(n/p) 如果n能整除p

比如p=5，k=12 （Δ的weight）
n=1，那么b(1)=a(5)
n=2，那么b(2)=a(10)
n=3，那么b(3)=a(15)
n=4，那么b(4)=a(20)
n=5，那么b(5)=a(20)+5¹¹ a(1)
n=6，那么b(6)=a(30)
n=7，那么b(7)=a(35)
n=8，那么b(8)=a(40)
n=9，那么b(9)=a(45)
n=10，那么b(10)=a(50)+5¹¹ a(2)
....

b(n)/a(n)就是T₅的eigenvalue。

这个规律确实成立。

而且还可以T₂，T₃，...

这个规律也对Δ的傅里叶系数有很强的限制。肯定是可以递推的。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 20日 18:34 据说这个是用Riemann-Roch定理证明的。好像也可以不用。据说比较简单。

Riemann-Roch需要理解一下。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 21日 12:39 没用Riemann-Roch。用的是这个定理。这个定理用了对 f'/f 的积分。据说比较简单：



感觉不是很简单。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 21日 12:39 没用Riemann-Roch。用的是这个定理。这个定理用了对 f'/f 的积分。据说比较简单：



感觉不是很简单。