问下：哪本书里面证明Jordan Normal Form存在性，最容易懂
发表于 ： 2023年 1月 8日 13:01
《线性代数》里面其他的部分，当年来回看几次或找找资料，都大概能看懂。唯一性也比较好理解。
哪本书解释Jordan Normal Form存在性，最容易懂？
哪本书解释Jordan Normal Form存在性，最容易懂？
都不大容易懂。我以前学的是国内的中文书，通过不变子空间来证明的。newIdRobot 写了： 2023年 1月 8日 13:01 《线性代数》里面其他的部分，当年来回看几次或找找资料，都大概能看懂。唯一性也比较好理解。
哪本书解释Jordan Normal Form存在性，最容易懂？
算法上好像的确不容易得到Jordan normal form。YWY 写了： 2023年 1月 8日 13:48 我知道的方法，通过λI - A的Smith normal form得到对应的Jordan Normal Form。至于哪本书有严格证明，哪本书说得清楚，我就不知道了，我自己也只是记住一些定理的表述，证明早都忘了。
TheMatrix 写了： 2023年 1月 8日 17:04 算法上好像的确不容易得到Jordan normal form。
还是涉及到找不变子空间的问题。
比如一个matrix A。假设eigenvalue和对应的eigenvector都找出来了。比如考虑一个eigenvalue λ，假设代数重数是n，几何重数是m<=n。那么不变子空间的分解就是n维分配到m个块中的一种分法，但是不知道是哪种。
通过λI - A的Smith normal form，对角线上的多项式叫做invariant factors，把它们进行完全分解，就对应约当子块。比如一个4 x 4矩阵A，如果Smith normal form对角线上的多项式是1, 1, λ-2, (λ-2)2(λ-3)，那么对应λ-2就是1 x 1的特征值为2的约当子块，对应(λ-2)2就是2 x 2的特征值为2的约当子块，对应λ-3就是1 x 1的特征值为3的约当子块，放一起就是原矩阵A的约当标准型。rgg 写了： 2023年 1月 8日 17:50 我没有去重新核对，凭记忆，龚升的线性代数五讲还是六讲从模理论角度复习线性代数，讲到乔丹标准型，非常好。
还有usa -canada mathcamp 某一年的讲义讲线性代数和模论的，可能更好，因为是写给（天才）中学生的。
嗯。这个不错。YWY 写了： 2023年 1月 8日 18:37 通过λI - A的Smith normal form，对角线上的多项式叫做invariant factors，把它们进行完全分解，就对应约当子块。比如一个4 x 4矩阵A，如果Smith normal form对角线上的多项式是1, 1, λ-2, (λ-2)2(λ-3)，那么对应λ-2就是1 x 1的特征值为2的约当子块，对应(λ-2)2就是2 x 2的特征值为2的约当子块，对应λ-3就是1 x 1的特征值为3的约当子块，放一起就是原矩阵A的约当标准型。
矩阵的特征多项式在多大程度上决定了一个矩阵。用群函数研究群表示，似乎方向相反….
嗯，似乎比特征多项式还好，特征多项式把同根的项都合并了。这个区分了位置。分的越清信息越多。YWY 写了： 2023年 1月 8日 18:37 通过λI - A的Smith normal form，对角线上的多项式叫做invariant factors，把它们进行完全分解，就对应约当子块。比如一个4 x 4矩阵A，如果Smith normal form对角线上的多项式是1, 1, λ-2, (λ-2)2(λ-3)，那么对应λ-2就是1 x 1的特征值为2的约当子块，对应(λ-2)2就是2 x 2的特征值为2的约当子块，对应λ-3就是1 x 1的特征值为3的约当子块，放一起就是原矩阵A的约当标准型。
也就是这个Smith normal form的“特征多项式”完全决定了一个矩阵（operator）。Jordan canonical form也完全决定了一个矩阵。up to a basis change.
是的。两个n x n矩阵A和B相似当且仅当λI - A和λI - B有相同的Smith normal form。TheMatrix 写了： 2023年 1月 8日 22:01 也就是这个Smith normal form的“特征多项式”完全决定了一个矩阵（operator）。Jordan canonical form也完全决定了一个矩阵。up to a basis change.
嗯。这个Smith normal form的算法也很有用。
多谢！龚升的线性代数五讲是这本书的附录：rgg 写了： 2023年 1月 8日 17:50 我没有去重新核对，凭记忆，龚升的线性代数五讲还是六讲从模理论角度复习线性代数，讲到乔丹标准型，非常好。
还有usa -canada mathcamp 某一年的讲义讲线性代数和模论的，可能更好，因为是写给（天才）中学生的。
这个也是门槛比较高：Smith normal form适用于环上的矩阵，类似于域上的矩阵的SVD。
我们还有甲乙丙丁这些符号。FoxMe 写了： 2023年 1月 9日 10:16 龚升的线性代数五讲开篇：中国的“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相当于现 在用 x， y， z， w 。
小学里学习的数学叫算术，主要是讨论数字的一些运算，这些内容人们很早就 已经知道，并沿用了几千年，直到后来，产生了“数字符号化”，才彻底改变了这种状 况“.数字符号化”就是用符号代替数字.这件事在我国发生在宋元时代(约公元 13 世纪五六十年代)，当时有“天元术”及“四元术”.也就是将未知数记作“天”元，后 来将两个、三个及四个未知数记作“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相当于现 在用 x， y， z， w 来表达四个未知数.有了这些“元”，也就可以解一些代数方程与联 立方程组了.在西方，彻底完成数字符号化是在公元 16 世纪“.数字符号化”的产 生标志着代数学“史前时期”的结束和代数学的诞生.
看了一下。门槛是比较高。Jordan canonical form属于线性代数比较高级的部分。我以前学得比较粗略。FoxMe 写了： 2023年 1月 9日 09:51 多谢！龚升的线性代数五讲是这本书的附录：
http://home.ustc.edu.cn/~hjz346594825/f ... ngbook.pdf
值得一看，不过门槛比较高。一般的线性代数研究线性空间，但是模是更广泛的线性结构。解决了我对约当标准型的疑惑：一般的域上矩阵只能相似于分块对角矩阵（对应于群表示论中的Maschke定理）；在代数封闭域中，相似于约当标准型。
能否提供链接：usa -canada mathcamp 某一年的讲义讲线性代数和模论的
嗯。对。SVD我没学过。
PID模分解定理我以前基本上就是直接接受了。看来这里有不trivial的地方啊。比如循环分解定理：找一个向量v，它生成的子模是一个direct summand。这个direct summand的要求不容易证明。FoxMe 写了： 2023年 1月 9日 09:51 多谢！龚升的线性代数五讲是这本书的附录：
http://home.ustc.edu.cn/~hjz346594825/f ... ngbook.pdf
值得一看，不过门槛比较高。一般的线性代数研究线性空间，但是模是更广泛的线性结构。解决了我对约当标准型的疑惑：一般的域上矩阵只能相似于分块对角矩阵（对应于群表示论中的Maschke定理）；在代数封闭域中，相似于约当标准型。
能否提供链接：usa -canada mathcamp 某一年的讲义讲线性代数和模论的