新未名空间

verdelite 写了： 2023年 2月 11日 08:57 48是一个奇妙的数字：48+1是一个平方数；48/2+1也是一个平方数。

问：有这个性质的数还有吗？如果没有了，证明之。如果还有，再找三个。如果是无穷的，你能证明吗？

reknaz 写了： 2023年 2月 11日 09:21 这有什么奇妙的，可以找很多类似这样的 rule，然后数字大多数就奇妙了。比如 6 就是一个奇妙的数字，它 ±1 都是质数，问有这样性质的数是无穷多吗？

verdelite 写了： 2023年 2月 11日 09:25 你这就是孪生素数猜想，当然奇妙了，张益唐才证明了一个松散的孪生素数猜想就成了大数学家。你可以举别的例子，但是这个例子举反了。

reknaz 写了： 2023年 2月 11日 09:39 为啥说举反了？都是一样类型的嘛。
好吧，3 也是个奇妙的数 +1 是个平方数，—1是个质数，有无穷多这样的数吗？

verdelite 写了： 2023年 2月 11日 09:46 你这个等价于问“平方数减去2是质数”的数是不是无穷的。估计也是一个重要的猜想，LOL

verdelite 写了： 2023年 2月 11日 08:57 48是一个奇妙的数字：48+1是一个平方数；48/2+1也是一个平方数。

问：有这个性质的数还有吗？如果没有了，证明之。如果还有，再找三个。如果是无穷的，你能证明吗？

verdelite 写了： 2023年 2月 11日 09:46 你这个等价于问“平方数减去2是质数”的数是不是无穷的。估计也是一个重要的猜想，LOL

TheMatrix 写了： 2023年 2月 11日 12:11 这是个二次方程。我最近在研究（玩）三次方程。靠上谱了。charted map。

x+1=y²
x/2 +1=z²

得到
y²=2z²-1

这是个Pell方程。有无穷多整数解。

reknaz 写了： 2023年 2月 11日 09:52 是啊，这种 rule 可以各种变化揉捏。所以我觉得猜想能坐大需要本身表述简洁有美感。

FGH 写了： 2023年 2月 11日 12:53 要解x^2-2y^2=-1，等价于(x+y\sqrt 2)(x-y\sqrt 2)=-1
考虑展开(\sqrt 2 +1)^n(\sqrt 2-1)^n=1。
如果n是奇数，两个因子分别是x+y\sqrt 2和-x+y\sqrt 2 的形式。
取n偶数，就会得到x^2-2y^2=1的解。

TheMatrix 写了： 2023年 2月 11日 12:39 这个问题具体的解法是：
2z²-y²=1
(√2 z+y)(√2 z-y)=1

再带入一个具体的解：
2*5²-7²=1
(√2 5+7)(√2 5-7)=1
n次方：(√2 5+7)ⁿ(√2 5-7)ⁿ=1

然后让factor分别相等：
(√2 z+y) = (√2 5+7)ⁿ
(√2 z-y) = (√2 5-7)ⁿ

可以解出来y和z的表达式。这是一族。还有其他族。

squares=set(item * item for item in range(10000))
print([2*item for item in range(10000000) if 2*item+1 in squares and item+1 in squares])
[0, 48, 1680, 57120, 1940448]

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 11日 17:11 很好！
n取奇数


对（1，1）和其它仍然没有被覆盖的特殊解，用此法可以一直找，而得出更多的族。

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 11日 20:21 由任何特殊解（s,t）都可找到与其相应的一个解族

（5.7）与（1，1）正好是3次方关系
因此（1.1）族完全覆盖了（5.7）族

满足的数之间“距离”非常大
还不容易看出（1，1）是否覆盖了全部解



n/2 +1 = x^2
n + 1 = y^2

one speical solution:
s t
1 1

generated solutions from (1,1):
n x y
0 1 1
48 5 7
1680 29 41
57120 169 239
1940448 985 1393
65918160 5741 8119
2239277040 33461 47321
76069501248 195025 275807
2584123765440 1136689 1607521
87784138523760 6625109 9369319
2.98208E+15 38613965 54608393
1.01303E+17 225058681 318281039
3.44131E+18 1311738121 1855077841
1.16903E+20 7645370045 10812186007
3.97127E+21 44560482149 63018038201
1.34906E+23 259717522849 367296043199
4.58285E+24 1513744654945 2140758220993
1.55682E+26 8822750406821 12477253282759
5.2886E+27 51422757785981 72722761475561
1.79657E+29 299713796309065 423859315570607

FGH 写了： 2023年 2月 11日 12:53 要解x^2-2y^2=-1，等价于(x+y\sqrt 2)(x-y\sqrt 2)=-1
考虑展开(\sqrt 2 +1)^n(\sqrt 2-1)^n=1。
如果n是奇数，两个因子分别是x+y\sqrt 2和-x+y\sqrt 2 的形式。
取n偶数，就会得到x^2-2y^2=1的解。