新未名空间

动员：有限域下的可分解问题。

假设f(x)是一个首项系数为1的整数系数不可约多项式。给定一个素数p，记该多项式系数模p之后为f_p(x)。这个新的多项式在F_p有限域下可以是可分解的。如果f_p(x)在F_p下可完全分解为无重复的一次项因子之积，则称f(x)在F_p下可分解。

有限域下的可分解问题就是问，给定一个首一整系数多项式，在什么样的素数p下，该多项式可分解。

比如，f(x) = x²+1，在 p=5,13,17,29,37,...下可分解。而在p=7下不可分解。

又比如，f(x) = x³-2，在 p=31,43,109,127,...下可分解。而在p=5下不可分解。

这是朗兰兹纲领动员问题中的一大类。

https://math.bu.edu/people/jsweinst/CEB/BAMS.pdf

互反律。

1. 费马最先回答了 f(x)=x²+1 的可分解问题。对于一般的二次多项式回答可分解问题，高斯得到了著名的二次互反律。

2. 上世纪上半页，出现了很多互反律，并引出类域理论。这些互反律都属于可交换的，因为f(x)的伽罗华群是可解的。

3. 上世纪下半页，通过对模形式和Q*/Q伽罗华群二维表示之间关系的研究，找到了一些不可交换的互反律。

4. 本世纪，就看舒尔茨了，出现了Q*/Q伽罗华群的算数流形上的表示。

f(x)=x²+1。

定理：f(x)在p下可分解，当且仅当 p=1 mod 4。

费马证明了等价问题：
1. 费马研究的是，哪些整数可表为两个整数的平方和。
2. 化简为研究哪些素数可表为两个整数的平方和。
3. 化简为x²+1=0 mod p。
4. ...

f(x)=x²+x+1 在p下可分解，当且仅当 p=1 mod 3。

f(x)=x²-2 在p下可分解，当且仅当 p=+/- 1 mod 8。

f(x)=x²-5 在p下可分解，当且仅当 p=1 mod 5。

二次互反律：f(x)=x²+bx+c 在p下可分解与否，决定于 p mod d，其中d是determinant (b²-4c)。

高于二次的多项式的可分解问题 - 没有完全的解答。

这是代数数论中的常见问题，还谈不上朗兰兹纲领吧？出现L函数，伽罗华群，模形式(或自首形)等，才到朗兰兹纲领。可能和互反律也有联系？

FoxMe 写了： 2023年 7月 4日 13:22 这是代数数论中的常见问题，还谈不上朗兰兹纲领吧？出现L函数，伽罗华群，模形式(或自首形)等，才到朗兰兹纲领。可能和互反律也有联系？

朗兰兹纲领太庞大，我也是想了解一下怎么从一个常见问题逐渐引入朗兰兹纲领。

研究这个问题的目的，是为了研究素数p在由f(x)确定的数域上如何分解为prime ideals。

FoxMe 写了： 2023年 7月 4日 15:54 研究这个问题的目的，是为了研究素数p在由f(x)确定的数域上如何分解为prime ideals。

这篇文章是从这一点开始，指出对于数域扩展L/K，也有这样一个类似关系，然后再往上扩展，应该最后是要联系上朗兰兹纲领。数域扩展L/K，所以伽罗华群就有了。后面又扩展到模形式。所以朗兰兹的材料也都有了。

TheMatrix 写了： 2023年 7月 4日 18:40 这篇文章是从这一点开始，指出对于数域扩展L/K，也有这样一个类似关系，然后再往上扩展，应该最后是要联系上朗兰兹纲领。数域扩展L/K，所以伽罗华群就有了。后面又扩展到模形式。所以朗兰兹的材料也都有了。

在数域扩展下研究prime ideal的分解，解决了solvable Galois group的情况。也就是分级解决prime ideal的分解问题：Q = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn = K。但是还有非solvable Galois group的情况。

哈， 我昨天看了一个L-function 和郎兰兹的视频也想发一个类似的贴来着。
根据这个视频，赶紧下载了一本 Love and Math。
张寿武，北大明星一代在媒体上新闻八卦不少， 但几乎没有中文平台做这样深度的数学科普的

Matthew Emerton
https://math.uchicago.edu/~emerton/
据说拥有Langlands program最多知识的人

Edward Frenkel, 本科苏联油气大学，自己找到Gelfand 做数学， 结果因为一篇文章本科一毕业就到哈佛当访问教授， 后来哈佛还是给了他一个博士学位（仅仅用了一年时间，大概本科跟着Gelfand 做的东西就值一个博士学位了）

可惜我只是刚刚明白zeta 函数的 analytic continuation, 再加上一点点 Galois theory。 见宝山空垂涎不得其门而入啊。

门槛比较高，但是训练有素的数学系博士生，如果学过数论和代数的主要课程，应该是能够入门的。要点是zeta函数和modular/automorphic form之间的联系，感觉有点像分析里的傅里叶变换的作用。中国解析数论学派应该在这个方向努力。

FoxMe 写了： 2023年 7月 5日 16:17 门槛比较高，但是训练有素的数学系博士生，如果学过数论和代数的主要课程，应该是能够入门的。要点是zeta函数和modular/automorphic form之间的联系，感觉有点像分析里的傅里叶变换的作用。中国解析数论学派应该在这个方向努力。

对，这个领域很丰富，很有意思。我有空要看看。

刚刚看完 love and math 70 页。 Edward Frenkel 应该对苏联、俄罗斯充满仇恨， 这七十页大半都在讲他作为一半犹太人在入学求学道路上碰到的反犹太歧视， 据他说苏联数学界反犹太的总头子是 Vinogradov，统治苏联数学界五十年。

看来要思想深邃需要会多国语言，Langlands 会英法德俄突厥六国语言。和Frenkel通信很多时候用俄语， 看的俄文文献比Frenkel都多

TheMatrix 写了： 2023年 7月 4日 20:43 在数域扩展下研究prime ideal的分解，解决了solvable Galois group的情况。也就是分级解决prime ideal的分解问题：Q = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn = K。但是还有非solvable Galois group的情况。

接下来好像就转向研究Gal(Q*/Q)。和modular form的关系是，用modular form得出了一组Gal(Q*/Q)的表示。

从哪里出现的朗兰兹纲领，还没搞清楚。