新未名空间

设I为恒等方阵，v,w为同阶向量。定义对称方阵A=I+vw^T+wv^T，^T表示转置。
假设A是可逆的。证明：v^T A^{-1} v =det(A^{-1}) v^T v。
没有标准答案。

矩阵的事，太难了。想了一会儿没有什么头绪。

FGH 写了： 2023年 8月 17日 21:16 设I为恒等方阵，v,w为同阶向量。定义对称方阵A=I+vw^T+wv^T，^T表示转置。
假设A是可逆的。证明：v^T A^{-1} v =det(A^{-1}) v^T v。
没有标准答案。

还有另一个等式，条件同上。证明：
I-v v^T/v^T v=A^{-1}-A^{-1} v v^T A^{-1}/v^T A^{-1} v。
其中，v^T v和v^T A^{-1} v是被当做两个数。

用Woodbury可证：

https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_ ... Discussion

我开始不太相信为啥和w无关，但是写下来居然是对的。第二个公式应该也可证。

FGH 写了： 2023年 8月 17日 21:16 设I为恒等方阵，v,w为同阶向量。定义对称方阵A=I+vw^T+wv^T，^T表示转置。
假设A是可逆的。证明：v^T A^{-1} v =det(A^{-1}) v^T v。
没有标准答案。

1, A = I + [v,w]*[w,v]^T
2, then inv(A) 用woodbury计算
3, det(A) = det(I + [w,v]^T*[v,w])，这里的I是2x2矩阵，这个也很容易算。

属实。一看到A = I + B*B^T 这种形式的求逆，即单位矩阵加上小秩矩阵B的扰动，必用Woodbury。为啥？因为 B*B^T 是个大矩阵，而B^T *B是个小矩阵，很好算。有时候Woodbury等式又叫矩阵求逆引理，特别当B是个列向量的时候，B^T *B变成了标量。

楼上两位厉害。