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#1 求极限
发表于 ： 2024年 1月 2日 19:22
由 TheMatrix
lim N->∞ (Σ2N 1/ln(n) - ∫2N 1/ln(x) dx)
再加一问：
lim N->∞ (Σ 2N ln(n)-s - ∫2N ln(x)-s dx)
是不是s的解析函数？
#2 Re: 求极限
发表于 ： 2024年 1月 3日 15:03
由 changbaihou
Direct calculation gives
\sum_{2\leq n\leq N}1/(\log n)=\int_{2^{-}}^{N}1/(\log x)d[x]=\int_2^Ndx/(\log x)-int_{2^{-}}^N1/(\log x)d{x}=\int_2^Ndx/(\log x)-{x}/\logx|_{2^{-}}^N-int_2^Ndx/(x\log^2x)
where {x}=x-[x] is the fractional part of x. Thus, the limit wanted is equal to
1/\log2-int_2^{\infty}{x}/(x\log^2x)dx
The same argument shows that the second limit gives a function analytic on Re(s)>0.
#3 Re: 求极限
发表于 ： 2024年 1月 3日 17:31
由 TheMatrix
changbaihou 写了： 2024年 1月 3日 15:03
Direct calculation gives
\sum_{2\leq n\leq N}1/(\log n)=\int_{2^{-}}^{N}1/(\log x)d[x]=\int_2^Ndx/(\log x)-int_{2^{-}}^N1/(\log x)d{x}=\int_2^Ndx/(\log x)-{x}/\logx|_{2^{-}}^N-int_2^Ndx/(x\log^2x)
where {x}=x-[x] is the fractional part of x. Thus, the limit wanted is equal to
1/\log2-int_2^{\infty}{x}/(x\log^2x)dx
The same argument shows that the second limit gives a function analytic on Re(s)>0.
format 一下：
#5 Re: 求极限
发表于 ： 2024年 1月 3日 18:32
由 changbaihou
谢谢。刚发现一个typo，在"where {x}=..."之前最后一个积分中，integrand分子missed了一个{x}。
#6 Re: 求极限
发表于 ： 2024年 1月 3日 18:35
由 (ッ)
发散的
#7 Re: 求极限
发表于 ： 2024年 1月 3日 21:22
由 TheMatrix
(ッ) 写了： 2024年 1月 3日 18:35
发散的
题目中那个积分积的不是1/x，而是积1/ln(x)。