新未名空间

比如Dirichlet证明等差数列中有0或无穷多的素数。Character的方法，就是横空出世。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 9日 10:28 比如Dirichlet证明等差数列中有0或无穷多的素数。Character的方法，就是横空出世。

回头看，Dirichlet的证明借鉴了Euler的方法：Σ 1/p = ∞。但是没有Character的话，谁也不知道能不能借鉴上Euler的方法。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 9日 10:38 回头看，Dirichlet的证明借鉴了Euler的方法：Σ 1/p = ∞。但是没有Character的话，谁也不知道能不能借鉴上Euler的方法。

等差数列，可以看成是ax+b的形式，其中系数取整数，变量也取整数。这是一个linear element in Z[X]。这样形式的数，要么能在Z[X]中分解，比如2x+6 = 2(x+3)，那么它就不可能是素数，要么就有无穷多的素数。

那么接下来就要看高阶多项式了。比如x²+1，x²+x+3，x³+2x+1。这样形式的数，要么能够分解因式，那就不可能有素数，要么不能分解因式，那就应该有无穷多的素数。

也就是素数的集合作为整体，不在代数方程的世界里 - 不与秦塞通人烟。

和π有点像，多项式得到的数，去掉整数倍π剩下的部分，基本是个随机数。

解析数论的起点。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 9日 10:38 回头看，Dirichlet的证明借鉴了Euler的方法：Σ 1/p = ∞。但是没有Character的话，谁也不知道能不能借鉴上Euler的方法。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 9日 12:00 等差数列，可以看成是ax+b的形式，其中系数取整数，变量也取整数。这是一个linear element in Z[X]。这样形式的数，要么能在Z[X]中分解，比如2x+6 = 2(x+3)，那么它就不可能是素数，要么就有无穷多的素数。

那么接下来就要看高阶多项式了。比如x²+1，x²+x+3，x³+2x+1。这样形式的数，要么能够分解因式，那就不可能有素数，要么不能分解因式，那就应该有无穷多的素数。

也就是素数的集合作为整体，不在代数方程的世界里 - 不与秦塞通人烟。

和π有点像，多项式得到的数，去掉整数倍π剩下的部分，基本是个随机数。

Dirichlet character能work的原因，有两条：

1，首先是有限划分。数列的长度是无限，但是character的数量为有限。变成数列的话，它是一个周期性的东西。
2，有限个character，组合起来，可以得到同周期的任意数列。这一点具有傅里叶变换的特征，后来被发展为拓扑群上的傅里叶变换。

这两条都强烈的只适用于ax+b的问题，比如8n+5，周期为8。也就是适用于线性问题。

对于二次的，比如x²+1中有无穷多素数这样的问题，可能不好使。

可能需要另一次横空出世。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 9日 10:28 比如Dirichlet证明等差数列中有0或无穷多的素数。Character的方法，就是横空出世。

2，4，6，8，10

确实目前无解，要用什么方法呢？听说有非线性傅立叶变换，我不了解，不知道有没有用。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 9日 14:09 Dirichlet character能work的原因，有两条：

1，首先是有限划分。数列的长度是无限，但是character的数量为有限。变成数列的话，它是一个周期性的东西。
2，有限个character，组合起来，可以得到同周期的任意数列。这一点具有傅里叶变换的特征，后来被发展为拓扑群上的傅里叶变换。

这两条都强烈的只适用于ax+b的问题，比如8n+5，周期为8。也就是适用于线性问题。

对于二次的，比如x²+1中有无穷多素数这样的问题，可能不好使。

可能需要另一次横空出世。

FGH 写了： 2024年 1月 10日 09:45 2，4，6，8，10

对。我想到有特殊情况，但是没想到这个简单情况。

p,2p,3p,...

除了这个情况还有没有其他例子？

特殊情况收集在一起也是有用的。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 10日 14:38 对。我想到有特殊情况，但是没想到这个简单情况。

p,2p,3p,...

除了这个情况还有没有其他例子？

特殊情况收集在一起也是有用的。

没有恰好两个素数的吗？

FoxMe 写了： 2024年 1月 10日 13:52 确实目前无解，要用什么方法呢？听说有非线性傅立叶变换，我不了解，不知道有没有用。

嗯。对。非线性傅里叶变换。我也不了解。

x²+1，按照Dirichlet的方法走的话，要考虑 Σ 1/(n²+1)^s这样的子序列。但是Euler的方法用不了了，因为这个子序列怎么加都是有限的。

另一边是考虑x²+1带来的扩域，也就是Gauss integer。这和x²+1中有无穷多素数的问题有关系吗？肯定会有关系。但恐怕也不是简单的关系。

这都是在Dirichlet series的范围内考虑，也就是 Σ a_n/n^s。这个方向不一定能解决问题。

FGH 写了： 2024年 1月 10日 14:52 没有恰好两个素数的吗？

应该没有。。。。应该不难证明。

FGH 写了： 2024年 1月 10日 14:52 没有恰好两个素数的吗？

我觉得 如果有了两个素数之后，利用等差数列 可以构造 非常 稠密 的数集，因而会有无数多的 素数