新未名空间

$x=0.a_1a_2a_3a_4\dots a_i \dots$,$a_i$为0或者1，则$x$为有理数，或者超越数。换言之，$x$不可能是无理代数数。

forecasting 写了： 2024年 1月 13日 06:18 $x=0.a_1a_2a_3a_4\dots a_i \dots$,$a_i$为0或者1，则$x$为有理数，或者超越数。换言之，$x$不可能是无理代数数。

这问题感觉是很难的。而且是另一个类别。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 13日 09:04 这问题感觉是很难的。而且是另一个类别。

超越数数论。试一试，万一做出来了呢？

forecasting 写了： 2024年 1月 13日 09:31 超越数数论。试一试，万一做出来了呢？

试过了。不得其门而入啊。

forecasting 写了： 2024年 1月 13日 06:18 $x=0.a_1a_2a_3a_4\dots a_i \dots$,$a_i$为0或者1，则$x$为有理数，或者超越数。换言之，$x$不可能是无理代数数。

This is a very interesting result (if it is actually true).

changbaihou 写了： 2024年 1月 13日 12:24 This is a very interesting result (if it is actually true).

肯定是对的。也肯定证明不了 - out of reach.

forecasting 写了： 2024年 1月 13日 09:31 超越数数论。试一试，万一做出来了呢？

对。超越数数论。不是diophantine数论。所以更难。我觉得几乎都是out of reach的。

其实Riemann zeta级数也是超越diophantine数论的。但是还有所抓手。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 13日 17:54 对。超越数数论。不是diophantine数论。所以更难。我觉得几乎都是out of reach的。

其实Riemann zeta级数也是超越diophantine数论的。但是还有所抓手。

无理数和超越数有什么区别？感觉涉及到群论的知识

GreatCanada 写了： 2024年 1月 13日 17:57 无理数和超越数有什么区别？

我们说的无理数一般指代数数，也就是代数方程的解。而超越数不能是代数方程的解。

GreatCanada 写了： 2024年 1月 13日 17:57 无理数和超越数有什么区别？感觉涉及到群论的知识

整数《 有理数《 代数数。三者都是可数多个。
无理数是非有理数
超越数是非代数数

看看这个，但好像也走不通：https://mathoverflow.net/questions/4478 ... scendental

这个latex看不懂，但有可能你paste一个screenshot我也看不懂

forecasting 写了： 2024年 1月 13日 06:18 $x=0.a_1a_2a_3a_4\dots a_i \dots$,$a_i$为0或者1，则$x$为有理数，或者超越数。换言之，$x$不可能是无理代数数。

mmking 写了： 2024年 1月 14日 06:17 这个latex看不懂，但有可能你paste一个screenshot我也看不懂

好吧

这个问题差不多等价于“all irrationals in the Cantor set are transcendental"吧？

forecasting 写了： 2024年 1月 13日 06:18 $x=0.a_1a_2a_3a_4\dots a_i \dots$,$a_i$为0或者1，则$x$为有理数，或者超越数。换言之，$x$不可能是无理代数数。

最近的一篇文章：
Expansions of algebraic numbers
https://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/FFNT.pdf

这里面有很多有趣的问题
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number

It has also been conjectured that every irrational algebraic number is absolutely normal (which would imply that √2 is normal), and no counterexamples are known in any base. However, no irrational algebraic number has been proven to be normal in any base.
看来到目前还是open

再加几个数排一排， simply normal number, absolutely normal number, computable number

FGH 写了： 2024年 1月 13日 19:21 整数《 有理数《 代数数。三者都是可数多个。
无理数是非有理数
超越数是非代数数

randomatrices 写了： 2024年 1月 14日 10:15 再加几个数排一排， simply normal number, absolutely normal number, computable number

还有不可数的non-computable number

randomatrices 写了： 2024年 1月 14日 10:15 再加几个数排一排， simply normal number, absolutely normal number, computable number

只听说过computable number。pi和e应该都是。解释一下另外两个。

simply normal in base 10 就是0到9在展开中出现的几率相同，
normal in base 10 就是所有长度n的由字母0到9组成字符串在展开中出现的几率相同，对所有n都成立
absolutely normal 或 normal 就是 normal in all integer(>=2) base.

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number

FGH 写了： 2024年 1月 14日 11:22 只听说过computable number。pi和e应该都是。解释一下另外两个。