新未名空间

级数必须有一序列数，或者有一阵列数，也就是它有一个lattice，但是这个lattice又不需要有结构，所以就看成是Z^k就可以了，也就是一个k维阵列的数。或者是函数项。那么就需要有另一个变量x。

所以有两个变量：n 和 x -- n代表阵列格点的变化，x代表每个阵列的参数。可以写成f(n,x)。

结成方法应该是千变万化。但是主要的方法好像并不多，而且我们先主要关心n是如何参与其中的 - 因为级数的变量首先是n。

1，xⁿ - 这就是幂级数。n的变化出现在指数上，所以项之间相差特别大，级数能迅速收敛。这是“好”的级数。

2，n^x - 这是Riemann zeta级数。n的变化出现在底数上。所以项之间相差特别小，都坨在一起了。级数收敛很慢。这是“不好”的级数。但是是好的问题 - 难！

3，e^inx - 傅里叶级数。n还是在指数上。这也是好的级数。

4，Eisenstein级数 - Σ 1/(x-Γ_n)^k。Γ是一个格点。这个写成f(n,x)的话，n也是出现在底数上，但是指数是固定的。x和n的出现方式差不多。和Riemann zeta级数相比，有点像，但是x没有出现在指数上。这个级数挺奇怪，怎么归类呢？

显然，这和积分变换（中的kernel）类似。再对比几个积分变换（的kernel）。这里的y是积分变量，积出来是x的函数。也就是y相当于级数中的n。

1，傅里叶变换：∫f(y) e^ixydy，kernel为 e^ixy。

2，Mellin变换：∫f(y) y^x-1dy，kernel为 y^x-1。y在底数上，这类似于Riemann zeta级数？

3，Laplace变换：∫f(y) e^-xydy，kernel为 e^-xy。这和傅里叶级数差不多。

我感觉Eisenstein级数类似于2维的Riemann zeta级数。

Mellin变换用于Dirichlet series 和幂级数的转换。

FoxMe 写了： 2024年 1月 15日 13:57 我感觉Eisenstein级数类似于2维的Riemann zeta级数。

Mellin变换用于Dirichlet series 和幂级数的转换。

对，Mellin变换联系了L函数和modular form。一个例子是Langlands program中的modularity theorem：椭圆曲线的L函数对应于一个modular form。