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#1 数理逻辑与代数的对应，或者数理逻辑的代数化包括生成元，理想，推理，一致性，完备性，语义，存在量词，不完备定理，皮亚诺一阶
发表于 ： 2024年 2月 1日 23:39
由 forecasting
从I want to be mathematician截取，生成元，理想，推理，一致性，完备性，语义，存在量词，不完备定理，皮亚诺一阶算术非单，多演代数与数理逻辑的代数化：
第一图是推理对应代数中的什么（理想与生成元，即公理集合和生成元生成的更大的理想），第二图是存在量词对应代数中的什么（算子与不等式）以及所谓语义是什么（表示！数学结构的同态 ），第三图是哥德尔不完备定理对应代数什么（数论是非单的，也就是皮亚诺一阶算术不是单代数）以及多演代数。
显然循这个路径，可以把多演代数几何化，从而把数理逻辑几何化。由此可以看看计算复杂性等等在代数和几何上到底对应什么。我一直猜测对应着某种距离。
#2 Re: 数理逻辑与代数的对应，或者数理逻辑的代数化包括生成元，理想，推理，一致性，完备性，语义，存在量词，不完备定理，皮亚诺一阶
发表于 ： 2024年 2月 1日 23:41
由 forecasting
有点意思，所以再单独开一个帖子。
#3 Re: 数理逻辑与代数的对应，或者数理逻辑的代数化包括生成元，理想，推理，一致性，完备性，语义，存在量词，不完备定理，皮亚诺一阶
发表于 ： 2024年 2月 2日 00:09
由 forecasting
#4 Re: 数理逻辑与代数的对应，或者数理逻辑的代数化包括生成元，理想，推理，一致性，完备性，语义，存在量词，不完备定理，皮亚诺一阶
发表于 ： 2024年 2月 2日 11:21
由 TheMatrix
forecasting 写了： 2024年 2月 1日 23:39
显然循这个路径，可以把多演代数几何化，从而把数理逻辑几何化。由此可以看看计算复杂性等等在代数和几何上到底对应什么。我一直猜测对应着某种距离。
前面没怎么看 - 看不懂。但是几何化还是有意义的。几何化理解，是一种理解途径。
#5 Re: 数理逻辑与代数的对应，或者数理逻辑的代数化包括生成元，理想，推理，一致性，完备性，语义，存在量词，不完备定理，皮亚诺一阶
发表于 ： 2024年 2月 2日 20:59
由 forecasting
代数几何里有Hilbert's Nullstellensatz，理想其实就对应于数理逻辑的公理集。对多项式环k[X1,X2,..., Xn]做超越扩张，会有一些平行的结果吧。限制理想的零点集为整数，就直接是丢番图集，也就进入了算术几何和递归论（可计算理论）的领域。
#6 Re: 数理逻辑与代数的对应，或者数理逻辑的代数化包括生成元，理想，推理，一致性，完备性，语义，存在量词，不完备定理，皮亚诺一阶
发表于 ： 2024年 3月 3日 06:47
由 forecasting
forecasting 写了： 2024年 2月 2日 20:59
代数几何里有Hilbert's Nullstellensatz，理想其实就对应于数理逻辑的公理集。对多项式环k[X1,X2,..., Xn]做超越扩张，会有一些平行的结果吧。限制理想的零点集为整数，就直接是丢番图集，也就进入了算术几何和递归论（可计算理论）的领域。
丢番图集合，即是c.e.set:
https://encyclopediaofmath.org/index.ph ... ldid=46710