#1 Q(√3)的一个练习题
发表于 ： 2024年 2月 12日 15:18
有一些比较基本的代数数论方面的问题，希望有人指点一下。
首先Q(√3)=Q[√3]，这应该是对的吧？
然后我看到说3 != 1 mod 4，所以Q(√3)的ring of integer是Z[√3]。也就是不需要像√5那样ring of integer是Z[(1+√5)/2]。这个也是对的吧？
我看到wiki说Q(√3)的class number是1。这是对的吧？
而class number等于1，意味着Q(√3)的ring of integer，也就是Z[√3]，是一个PID，principal ideal domain。这是对的吧？
"2"在Z[√3]里是irreducible。这是对的吧？
那么(2)在Z[√3]里应该是一个prime ideal。这是对的吗？
那么Z[√3]/(2)应该是一个integral domain。这个依赖于上一个问题。
Z[√3]/(2)={0,1,√3,1+√3}，有4个元素。这是对的吧？
而(1+√3)(1+√3)=1+3+2√3=4+2√3 =0 mod (2)，那么1+√3是一个zero divisor。这和(2)是prime ideal矛盾啊。哪出错了呢？
首先Q(√3)=Q[√3]，这应该是对的吧？
然后我看到说3 != 1 mod 4，所以Q(√3)的ring of integer是Z[√3]。也就是不需要像√5那样ring of integer是Z[(1+√5)/2]。这个也是对的吧？
我看到wiki说Q(√3)的class number是1。这是对的吧？
而class number等于1，意味着Q(√3)的ring of integer，也就是Z[√3]，是一个PID，principal ideal domain。这是对的吧？
"2"在Z[√3]里是irreducible。这是对的吧？
那么(2)在Z[√3]里应该是一个prime ideal。这是对的吗？
那么Z[√3]/(2)应该是一个integral domain。这个依赖于上一个问题。
Z[√3]/(2)={0,1,√3,1+√3}，有4个元素。这是对的吧？
而(1+√3)(1+√3)=1+3+2√3=4+2√3 =0 mod (2)，那么1+√3是一个zero divisor。这和(2)是prime ideal矛盾啊。哪出错了呢？