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#1 这个命题是对的吧？
发表于 ： 2024年 2月 18日 11:02
由 TheMatrix
一个有限元素的integral domain一定是一个field。
#2 Re: 这个命题是对的吧？
发表于 ： 2024年 2月 18日 11:14
由 TheMatrix
TheMatrix 写了： 2024年 2月 18日 11:02
一个有限元素的integral domain一定是一个field。
嗯。Bing说这个是对的，还给了证明。也不难理解。
#3 Re: 这个命题是对的吧？
发表于 ： 2024年 2月 18日 17:02
由 FoxMe
这可以解释为啥数域中，prime ideal 也是maximal ideal。
#4 Re: 这个命题是对的吧？
发表于 ： 2024年 2月 18日 17:08
由 FoxMe
还又个推广：Wedderburn's little theorem states that every finite division ring is a field. In other words, for finite rings, there is no distinction between integral domains, division rings and fields.
#5 Re: 这个命题是对的吧？
发表于 ： 2024年 2月 18日 17:14
由 TheMatrix
FoxMe 写了： 2024年 2月 18日 17:02
这可以解释为啥数域中，prime ideal 也是maximal ideal。
哦对啊。因为数域的ideal的index，也叫ideal norm吧，都是有限。也就是quotient ring为有限。所以prime ideal的quotient为有限的integral domain，所以必然是一个有限域。所以prime ideal也必然是maximal。
#6 Re: 这个命题是对的吧？
发表于 ： 2024年 2月 18日 17:15
由 TheMatrix
FoxMe 写了： 2024年 2月 18日 17:08
还又个推广：Wedderburn's little theorem states that every finite division ring is a field. In other words, for finite rings, there is no distinction between integral domains, division rings and fields.
谢谢。