完了完了：雅可比猜想被同济大学苏育才攻克？
发表于 ： 2022年 10月 19日 15:46
漫谈雅可比猜想
Original 未数家 未来数学家 2022-10-13 12:15 Posted on 河南
最近在和乐数学公众号上看到介绍同济大学苏育才教授关于二维雅可比猜想（Jacobian Conjecture）的文章，得知今年6月他在 arXiv 上提交了证明的最终版本（[5]）。目前还没有看到相关领域专家的公开评价。当前国内外都有人在研究雅可比猜想，国内还有多位学者在 arXiv 上传了雅可比猜想的工作。
雅可比猜想（[1, 2, 3]）是一个著名的公开问题。上世纪末，时任国际数学联盟副主席的弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）受希尔伯特的启发，邀请一些数学家为即将到来的21世纪列一些数学问题。受到邀请的斯蒂芬·斯梅尔在1998年给出了18个未解决的难题（[6]），雅可比猜想就位列其中。这猜想自德国数学家凯勒（Ott-Heinrich Keller）1939年首次提出以来，至今都未得到解决。
一个残酷的现实是，至少有五篇公开发表的证明都是错的（[2]）。
最早的证明来自凯勒的学生 Wolfgang Engel。 1955年他在著名的数学期刊《Mathematische Annalen》上发表了二维雅可比猜想的证明。接着，意大利数学家塞格雷（Beniamino Segre）在1956年和1960年先后发表了三个n维雅可比猜想的证明，还引用了 Wolfgang Engel 的工作。他在第三篇证明论文中提出了一个问题——寻找雅可比猜想的纯代数证明。一年后，奥地利数学家格罗布纳（Wolfgang Gröbner）发表了一个纯代数证明。看起来雅可比猜想已经解决了，沙法列维奇（I. R. Shafarevich）在1967年发表的论文中已经把n维雅可比猜想作为定理使用了。
但是问题出现了。扎里斯基（Oscar Zariski），20世纪最伟大的代数几何学家之一，发现了格罗布纳文章中的一个计算错误，使得他的证明不再成立（[2]）。1970年，I. Canals 和 E. Lluis 在塞格雷的证明中发现一个引理的证明有误，发表了一篇纠错的论文。即使如此，塞格雷的证明仍不完整。
扎里斯基的学生、普渡大学印度裔数学家阿比安卡尔（Shreeram S. Abhyankar）招收了一位华裔学生名叫莫宗坚（Tzuong-tsieng Moh），如今是普渡大学数学系荣休教授。据莫宗坚回忆，1960年代末的一天，他们在普渡大学的一次讨论班上做报告，把雅可比猜想作为定理使用，被坐在听众席中的扎里斯基当即指出它还没有被证明。
1975年，阿比安卡尔和莫宗坚发表了一篇重要的论文，不仅指出了塞格雷的错误，还发现了 I. Canals 和 E. Lluis 纠错论文中的错误。同一年，前苏联数学家维图什金（A. G. Vitushkin）在二十年前 Wolfgang Engel 发表的证明中找出了两个错误。至此，五篇公开发表的证明都是错的（[2]）。
同样令人惊讶的是，维图什金是一位双目失明的数学家。15岁时他在一次事故中丧失了视力，数学老师为了鼓励他，给他讲盲人数学家庞特里亚金的故事。中学毕业后维图什金进入莫斯科国立大学学习。他曾经问老师克朗罗德该如何学习数学，克朗罗德告诉他，这很容易，就是不停地学。这句话激励他在数学上坚持了下来，成长为杰出的数学家，在分析领域和希尔伯特的第13个问题上做出了重要的贡献。1974年，维图什金受邀在加拿大温哥华召开的国际数学家大会上做1小时报告。
在那次讨论班后，阿比安卡尔成为研究雅可比猜想的主要推动者。他详细地研究了二维雅可比猜想，还给出了多项式映射形式上的逆公式。这些工作对后来的研究产生了重要的影响。莫宗坚在1983年证明了当多项式映射的次数小于等于100时，二维雅可比猜想成立。
还有多位华人数学家在这猜想上做出了重要贡献。奥克兰大学数学和统计系王穗生教授（Stuart Sui-Sheng Wang）在1980年证明了n维雅可比猜想对二次多项式映射成立，这是一个重要的进展，证明却非常简单。香港大学余解台教授（Jie-Tai Yu）在1995年证明了对于雅可比行列式为1的负多项式映射，n维雅可比猜想成立（[3]）。
从70年代以来，对雅可比猜想的研究取得了不少进展，也出现了一些新的错误证明，例如 Susumu Oda 在1980年的预印本中给出的证明。2004年，密歇根大学数学系教授 Mel Hochster 宣布 Carolyn Dean 证明了二维雅可比猜想，引起了较大的轰动。Carolyn Dean 是密歇根大学的一位数学讲师，Mel Hochster 仔细检查了她文章中的每一个细节后确信是正确的。但是不久就被发现这也是一个错误的证明。2005年，苏育才教授在arXiv 提交了论文《二维雅可比猜想的证明》，莫宗坚教授随后发文指出证明是错的（[4]）。
无疑，这是一个很难的问题，但它的描述非常简单，阿比安卡尔1976年发表在《美国数学月刊》上的一篇文章称其为 High-School Implicit Function Theorem（[7]）。我们知道数学分析中有一个重要的定理叫做隐函数组定理，它有一个特殊情形即反函数组定理，大意是如果函数组在一点处的雅可比行列式不为零，那么它在这一点的某一领域内存在反函数组。雅可比猜想可以看作反函数组定理从局部到整体的推广。它的描述如下。
设 C 为复数域（或特征为0的代数闭域），考虑 Cn （n ≥ 2）到自身的多项式映射 F：
Image
其中每一个 Fi(z) 都是多项式。如果对所有的 z ∈ Cn ，F 的雅可比行列式
Image
是一个非0的常数，那么多项式映射 F 是可逆的，并且逆也是一个多项式映射，这就是n维（复）雅可比猜想。
此外还有广义雅可比猜想、实雅可比猜想等各种不同的版本。
n=1 时的雅可比猜想显然成立（由 F'(z)=a≠0 得到 F(z)=az+b，它的逆是 z=(F-b)/a）），所以只考虑 n ≥ 2 的情形。一些论文证明了在一些特殊情形下雅可比猜想成立，例如取特定的维数和多项式映射的次数（多项式映射 F 的次数为 Fi 中的最高次数），一些论文将其转化为各种等价的形式，从不同的角度去研究，使用的方法有分析、代数或者几何等等，不一而足。
在运动赛场上，我们经常看到高手挑战高难度的动作，即使这个动作曾经多次有人做过，但在这次比赛中只有你做到了，你就赢了。但是对数学难题来说，只有第一个解决的人才会赢得荣誉，重复别人的证明就变成了学习。从这个意义上说，数学家就是开拓未知世界的孤勇者。
Original 未数家 未来数学家 2022-10-13 12:15 Posted on 河南
最近在和乐数学公众号上看到介绍同济大学苏育才教授关于二维雅可比猜想（Jacobian Conjecture）的文章，得知今年6月他在 arXiv 上提交了证明的最终版本（[5]）。目前还没有看到相关领域专家的公开评价。当前国内外都有人在研究雅可比猜想，国内还有多位学者在 arXiv 上传了雅可比猜想的工作。
雅可比猜想（[1, 2, 3]）是一个著名的公开问题。上世纪末，时任国际数学联盟副主席的弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）受希尔伯特的启发，邀请一些数学家为即将到来的21世纪列一些数学问题。受到邀请的斯蒂芬·斯梅尔在1998年给出了18个未解决的难题（[6]），雅可比猜想就位列其中。这猜想自德国数学家凯勒（Ott-Heinrich Keller）1939年首次提出以来，至今都未得到解决。
一个残酷的现实是，至少有五篇公开发表的证明都是错的（[2]）。
最早的证明来自凯勒的学生 Wolfgang Engel。 1955年他在著名的数学期刊《Mathematische Annalen》上发表了二维雅可比猜想的证明。接着，意大利数学家塞格雷（Beniamino Segre）在1956年和1960年先后发表了三个n维雅可比猜想的证明，还引用了 Wolfgang Engel 的工作。他在第三篇证明论文中提出了一个问题——寻找雅可比猜想的纯代数证明。一年后，奥地利数学家格罗布纳（Wolfgang Gröbner）发表了一个纯代数证明。看起来雅可比猜想已经解决了，沙法列维奇（I. R. Shafarevich）在1967年发表的论文中已经把n维雅可比猜想作为定理使用了。
但是问题出现了。扎里斯基（Oscar Zariski），20世纪最伟大的代数几何学家之一，发现了格罗布纳文章中的一个计算错误，使得他的证明不再成立（[2]）。1970年，I. Canals 和 E. Lluis 在塞格雷的证明中发现一个引理的证明有误，发表了一篇纠错的论文。即使如此，塞格雷的证明仍不完整。
扎里斯基的学生、普渡大学印度裔数学家阿比安卡尔（Shreeram S. Abhyankar）招收了一位华裔学生名叫莫宗坚（Tzuong-tsieng Moh），如今是普渡大学数学系荣休教授。据莫宗坚回忆，1960年代末的一天，他们在普渡大学的一次讨论班上做报告，把雅可比猜想作为定理使用，被坐在听众席中的扎里斯基当即指出它还没有被证明。
1975年，阿比安卡尔和莫宗坚发表了一篇重要的论文，不仅指出了塞格雷的错误，还发现了 I. Canals 和 E. Lluis 纠错论文中的错误。同一年，前苏联数学家维图什金（A. G. Vitushkin）在二十年前 Wolfgang Engel 发表的证明中找出了两个错误。至此，五篇公开发表的证明都是错的（[2]）。
同样令人惊讶的是，维图什金是一位双目失明的数学家。15岁时他在一次事故中丧失了视力，数学老师为了鼓励他，给他讲盲人数学家庞特里亚金的故事。中学毕业后维图什金进入莫斯科国立大学学习。他曾经问老师克朗罗德该如何学习数学，克朗罗德告诉他，这很容易，就是不停地学。这句话激励他在数学上坚持了下来，成长为杰出的数学家，在分析领域和希尔伯特的第13个问题上做出了重要的贡献。1974年，维图什金受邀在加拿大温哥华召开的国际数学家大会上做1小时报告。
在那次讨论班后，阿比安卡尔成为研究雅可比猜想的主要推动者。他详细地研究了二维雅可比猜想，还给出了多项式映射形式上的逆公式。这些工作对后来的研究产生了重要的影响。莫宗坚在1983年证明了当多项式映射的次数小于等于100时，二维雅可比猜想成立。
还有多位华人数学家在这猜想上做出了重要贡献。奥克兰大学数学和统计系王穗生教授（Stuart Sui-Sheng Wang）在1980年证明了n维雅可比猜想对二次多项式映射成立，这是一个重要的进展，证明却非常简单。香港大学余解台教授（Jie-Tai Yu）在1995年证明了对于雅可比行列式为1的负多项式映射，n维雅可比猜想成立（[3]）。
从70年代以来，对雅可比猜想的研究取得了不少进展，也出现了一些新的错误证明，例如 Susumu Oda 在1980年的预印本中给出的证明。2004年，密歇根大学数学系教授 Mel Hochster 宣布 Carolyn Dean 证明了二维雅可比猜想，引起了较大的轰动。Carolyn Dean 是密歇根大学的一位数学讲师，Mel Hochster 仔细检查了她文章中的每一个细节后确信是正确的。但是不久就被发现这也是一个错误的证明。2005年，苏育才教授在arXiv 提交了论文《二维雅可比猜想的证明》，莫宗坚教授随后发文指出证明是错的（[4]）。
无疑，这是一个很难的问题，但它的描述非常简单，阿比安卡尔1976年发表在《美国数学月刊》上的一篇文章称其为 High-School Implicit Function Theorem（[7]）。我们知道数学分析中有一个重要的定理叫做隐函数组定理，它有一个特殊情形即反函数组定理，大意是如果函数组在一点处的雅可比行列式不为零，那么它在这一点的某一领域内存在反函数组。雅可比猜想可以看作反函数组定理从局部到整体的推广。它的描述如下。
设 C 为复数域（或特征为0的代数闭域），考虑 Cn （n ≥ 2）到自身的多项式映射 F：
Image
其中每一个 Fi(z) 都是多项式。如果对所有的 z ∈ Cn ，F 的雅可比行列式
Image
是一个非0的常数，那么多项式映射 F 是可逆的，并且逆也是一个多项式映射，这就是n维（复）雅可比猜想。
此外还有广义雅可比猜想、实雅可比猜想等各种不同的版本。
n=1 时的雅可比猜想显然成立（由 F'(z)=a≠0 得到 F(z)=az+b，它的逆是 z=(F-b)/a）），所以只考虑 n ≥ 2 的情形。一些论文证明了在一些特殊情形下雅可比猜想成立，例如取特定的维数和多项式映射的次数（多项式映射 F 的次数为 Fi 中的最高次数），一些论文将其转化为各种等价的形式，从不同的角度去研究，使用的方法有分析、代数或者几何等等，不一而足。
在运动赛场上，我们经常看到高手挑战高难度的动作，即使这个动作曾经多次有人做过，但在这次比赛中只有你做到了，你就赢了。但是对数学难题来说，只有第一个解决的人才会赢得荣誉，重复别人的证明就变成了学习。从这个意义上说，数学家就是开拓未知世界的孤勇者。