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此帖转自 agi 在 军事天地（Military） 的帖子：阿里巴巴决赛试题

看了一下。吓人啊。

主要是涵盖的领域太多了。什么都考啊。比博士qualify考试的领域还多。

这肯定不是一天的，每个领域一天还差不多。

应该允许查资料，至少查定义。

非数学专业的，题都看不懂，可能除了分析与组合领域。

代数方向，题基本上都能看懂。

几何与拓扑方向，题基本上能看懂，但是概念明显有点怕怕。

分析方向，题目可以看懂。题目4看起来是最approachable：

一眼看去，不觉得比预赛更难

计算与应用数学方向，试题最长。感觉不太熟悉。

TheMatrix 写了： 2024年 6月 23日 19:17 看了一下。吓人啊。

主要是涵盖的领域太多了。什么都考啊。比博士qualify考试的领域还多。

这肯定不是一天的，每个领域一天还差不多。

应该允许查资料，至少查定义。

非数学专业的，题都看不懂，可能除了分析与组合领域。

状况外？ 每个参赛者只能选一个方向， 24小时中， 任意连续8小时完成

组合与概率方向，题目可以看懂。

萧武达 写了： 2024年 6月 23日 21:30 状况外？ 每个参赛者只能选一个方向， 24小时中， 任意连续8小时完成

哦。选一个方向？那不同方向怎么比名次啊？

应该是选一个方向。感觉难度超过了数学系的研究生水平。

TheMatrix 写了： 2024年 6月 23日 19:17 看了一下。吓人啊。

主要是涵盖的领域太多了。什么都考啊。比博士qualify考试的领域还多。

这肯定不是一天的，每个领域一天还差不多。

应该允许查资料，至少查定义。

非数学专业的，题都看不懂，可能除了分析与组合领域。

TheMatrix 写了： 2024年 6月 23日 21:27 分析方向，题目可以看懂。题目4看起来是最approachable：

这个我有思路了。我觉得我应该是能写出来的。但是一个人玩没啥意思。我先不写。

TheMatrix 写了： 2024年 6月 24日 22:05 这个我有思路了。我觉得我应该是能写出来的。但是一个人玩没啥意思。我先不写。

我又想了一下，还是没有证明出来。

TheMatrix 写了： 2024年 6月 27日 08:12 我又想了一下，还是没有证明出来。

证明如果a_1 < 1 - b, b < 10^{-k}

那么a_n < 2 * 10^k, \forall n

有空应该做做。代数方向的第4题有点思路，应该和cyclotomic field有关。

TheMatrix 写了： 2024年 6月 23日 21:17 代数方向，题基本上都能看懂。

单调递增数列，只需要证明有上限，就有上极限

所以只要找个上限就可以了

TheMatrix 写了： 2024年 6月 23日 21:27 分析方向，题目可以看懂。题目4看起来是最approachable：

（ヅ） 写了： 2024年 6月 27日 13:37 证明如果a_1 < 1 - b, b < 10^{-k}

那么a_n < 2 * 10^k, \forall n

试了一下，这个是对的。但是我没有找到证明。

（ヅ） 写了： 2024年 6月 27日 13:37 证明如果a_1 < 1 - b, b < 10^{-k}

那么a_n < 2 * 10^k, \forall n

我试从微分方程考虑这个问题。考虑 a(x) 作为 a_n数列的扩展。从a_n的递推关系，得到 a(x)的微分方程：
a' = a²/x²

解出 a(x) = x/(1+cx)。

设a(1)= 0.9，解出c≈0.1，那么a(x) < 1/c = 10，\forall x。

怎么还原回到数列中去呢？

TheMatrix 写了： 2024年 6月 28日 14:13 我试从微分方程考虑这个问题。考虑 a(x) 作为 a_n数列的扩展。从a_n的递推关系，得到 a(x)的微分方程：
a' = a²/x²

解出 a(x) = x/(1+cx)。

设a(1)= 0.9，解出c≈0.1，那么a(x) < 1/c = 10，\forall x。

怎么还原回到数列中去呢？

如果把x/(1+cx)看成是c-parameter family of curves，那么这个曲线族是充满三角区域(y<x)的。也就是每一个点(n,a_n)都有一个曲线恰好通过它。每一个(n,a_n)对应的c都不同，但是不应该相差太大。这应该有一个定理保证。

FoxMe 写了： 2024年 6月 27日 17:11 有空应该做做。代数方向的第4题有点思路，应该和cyclotomic field有关。

p=7的时候，方程写出来是：

X**3
- 2*X**2*Y*cos(2*pi/7)
+ 2*X**2*Y*cos(3*pi/7)
+ 2*X**2*Y*cos(pi/7)
- 4*X*Y**2*cos(pi/7)*cos(2*pi/7)
- 4*X*Y**2*cos(2*pi/7)*cos(3*pi/7)
+ 4*X*Y**2*cos(pi/7)*cos(3*pi/7)
- 8*Y**3*cos(pi/7)*cos(2*pi/7)*cos(3*pi/7)
= 49

这要有整数解就奇怪了。