新未名空间

求复数数列A=(a(1)=1,a(2),a(3),a(4),...)。

要求满足如下条件：
给定一个素数p，以及一个正整数k，首先定义一个数列操作T_p：
T_pA=(b(1),b(2),b(3),b(4),...)
such that b(n)=a(np)+p^k-1a(n/p) if n = 0 mod p else a(np)

然后，求T_pA=λ_pA这样的A。其中λ_p是一个复数。

也就是T_p是数列空间上的算符，而A是这个算符的eigenvector，λ_p是这个算符的eigenvalue。

求这样的A。

可以列举，也可以给出pattern。

哈，从来没想过如果Hecke operators作用在一般(normalized with a_1=1)序列上，是不是每个"eigen-序列"一定对应某个Hecke eigenform的Fourier coefficients。也许结果是已知的，也许not，IDK. 我也想知道结果。

GRH 写了： 2024年 9月 28日 13:30 哈，从来没想过如果Hecke operators作用在一般(normalized with a_1=1)序列上，是不是每个"eigen-序列"一定对应某个Hecke eigenform的Fourier coefficients。也许结果是已知的，也许not，IDK. 我也想知道结果。

如果T_p作用在一般序列上考虑eigenvector的话，好像对a(p)是没有限制的。也就是素数位置上的取值是自由的。

prime power位置上的取值有限制。

pq位置上的取值，也就是两个素数没有幂次的相乘，可以取a(p)*a(q)，但是好像也可以不取这个值。似乎也是自由的。

如果只考虑素数位置上的自由取值，这样的序列能否对应一个modular form，我觉得应该是不行。

TheMatrix 写了： 2024年 9月 28日 15:06
pq位置上的取值，也就是两个素数没有幂次的相乘，可以取a(p)*a(q)，但是好像也可以不取这个值。似乎也是自由的。

哦。如果要求T_pq=T_pT_q的话，序列pq位置取值不是自由的，只能等于a(p)*a(q)。

但是素数位置的自由度还是在。

GRH 写了： 2024年 9月 28日 13:30 哈，从来没想过如果Hecke operators作用在一般(normalized with a_1=1)序列上，是不是每个"eigen-序列"一定对应某个Hecke eigenform的Fourier coefficients。也许结果是已知的，也许not，IDK. 我也想知道结果。

我太土了，answer当然应该是no。随便构造序列(a_p) (p running over primes) which不满足Sato-Tate Conjecture就行了。

GRH 写了： 2024年 9月 28日 17:08 我太土了，answer当然应该是no。随便构造序列(a_p) (p running over primes) which不满足Sato-Tate Conjecture就行了。

不如说说广义黎曼猜想的进展，另外说说张汤姆关于朗道-西格尔零点的论文（他这论文一传出，凭直觉就觉得有问题，好像果然啊，他到目前也没兑现承诺）