新未名空间

https://www.quantamagazine.org/big-adva ... -20241014/

人们猜想(n²+1)这个多项式包含无穷多个素数，但是没人能证明。

于是以前有人证明了它的最大素因子是O(log log n)。

今年有人改进了这个下界，证明了它的最大素因子大概是O((log log n)^2)。这个证明的有趣之处是，它是通过椭圆曲线来证明的，令人惊讶。

FoxMe 写了： 2024年 10月 20日 10:49 https://www.quantamagazine.org/big-adva ... -20241014/

人们猜想(n²+1)这个多项式包含无穷多个素数，但是没人能证明。

于是以前有人证明了它的最大素因子是O(log log n)。

今年有人改进了这个下界，证明了它的最大素因子大概是O((log log n)^2)。这个证明的有趣之处是，它是通过椭圆曲线来证明的，令人惊讶。

看了一下这个文章，不错。加法的素因子，确实是数论的核心。

还在看是怎么和椭圆曲线联系上的。

但是感觉证明素因子的下界，与原先的目标（无穷多素数）南辕北辙。即使素因子的下界很小，也有可能存在无穷多形如(n²+1)的素数。

TheMatrix 写了： 2024年 10月 21日 15:22 看了一下这个文章，不错。加法的素因子，确实是数论的核心。

FoxMe 写了： 2024年 10月 21日 16:36 还在看是怎么和椭圆曲线联系上的。

但是感觉证明素因子的下界，与原先的目标（无穷多素数）南辕北辙。即使素因子的下界很小，也有可能存在无穷多形如(n²+1)的素数。

素因子大相当于almost prime。所以这个就是说n²+1序列中有很多almost prime。这和说有无穷多prime是一个方向上的。

FoxMe 写了： 2024年 10月 21日 16:36 还在看是怎么和椭圆曲线联系上的。

但是感觉证明素因子的下界，与原先的目标（无穷多素数）南辕北辙。即使素因子的下界很小，也有可能存在无穷多形如(n²+1)的素数。

另外，他这个不是说素因子的下界，是说素因子的上界的下界，好像是。总之他是想说素因子大，而不是小。

TheMatrix 写了： 2024年 10月 21日 18:23 另外，他这个不是说素因子的下界，是说素因子的上界的下界，好像是。总之他是想说素因子大，而不是小。

minmax就对了。

就是最大素因子。目前的结果都太弱了，(log log n)^2比(log log n)大一点，但还基本上是个常数。

证明不容易看懂，前一阵子讨论过的椭圆曲线conductor都用上了，还有Shimura curve, Langlands correspondence等都出来了。

TheMatrix 写了： 2024年 10月 21日 18:23 另外，他这个不是说素因子的下界，是说素因子的上界的下界，好像是。总之他是想说素因子大，而不是小。