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martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 27日 12:08
由 TheMatrix
当然filtration这个概念也很重要。这个概念理论上很重要，实际中好像没有任何影响，只造成障碍。但我觉得应该会有更重要的应用。
Filtration，在连续时间下表示为F_t，序列时间下表示为F_n，其中每一个是系统可测集的集合，每一个都包含在下一个之中，一个套一个形成一个tower。
可测集代表了什么？代表了这是一个可谈论的事件。不是所有的“事件”都是可谈论的 - 当然，概率论中定义事件为可测集，所以我这里加了引号 - 要在当时条件足够的情况下才可谈论。而可谈论的事件会随着时间的增加认识的增加而越来越多，也就是说，可测集的集合越来越大，很自然就形成了filtration。
这么自然的概念，代表了认识过程的概念，我想它应该有一定的重要性。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 27日 12:26
由 verdelite
TheMatrix 写了： 2022年 11月 27日 12:08
当然filtration这个概念也很重要。这个概念理论上很重要，实际中好像没有任何影响，只造成障碍。但我觉得应该会有更重要的应用。
Filtration，在连续时间下表示为F_t，序列时间下表示为F_n，其中每一个是系统可测集的集合，每一个都包含在下一个之中，一个套一个形成一个tower。
可测集代表了什么？代表了这是一个可谈论的事件。不是所有的“事件”都是可谈论的 - 当然，概率论中定义事件为可测集，所以我这里加了引号 - 要在当时条件足够的情况下才可谈论。而可谈论的事件会随着时间的增加认识的增加而越来越多，也就是说，可测集的集合越来越大，很自然就形成了filtration。
这么自然的概念，代表了认识过程的概念，我想它应该有一定的重要性。
看你说的，filtration这个时间序列越来越大，和我们平时说的filter正相反。为啥这样干？是不是为了处理无穷集合？反过来的话，从某集合出发，越来越小，就不能处理无穷了。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 27日 12:35
由 TheMatrix
verdelite 写了： 2022年 11月 27日 12:26
看你说的，filtration这个时间序列越来越大，和我们平时说的filter正相反。为啥这样干？是不是为了处理无穷集合？反过来的话，从某集合出发，越来越小，就不能处理无穷了。
filtration越来越大，是可测集越来越多，越来越精细。某一时刻的filtration是集合的集合。不是为了处理无穷集合。
这个和jpg图片loading有点像，一个大的jpg，loading的时候，开始有点虚化，每一块，每一个edge都逐渐清晰。这就是filtration越来越大。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 27日 12:38
由 verdelite
TheMatrix 写了： 2022年 11月 27日 12:35
filtration越来越大，是可测集越来越多，越来越精细。某一时刻的filtration是集合的集合。不是为了处理无穷集合。
这个和jpg图片loading有点像，一个大的jpg，loading的时候，开始有点虚化，每一块，每一个edge都逐渐清晰。这就是filtration越来越大。
听着似乎康托集的生成过程。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 27日 12:39
由 TheMatrix
verdelite 写了： 2022年 11月 27日 12:38
听着似乎康托集的生成过程。
对。跟分形很像。应该有关系。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 28日 17:25
由 FoxMe
举个简单例子：Doob's martingale Yn = E[Y|X1, X2, ...,Xn]，这里的filtration可以理解为{X1, X2, ...,Xn}集合。
Yn是对Y的估计。n越大，条件越多，当然对Y的估计就越准确。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 28日 17:27
由 FoxMe
TheMatrix 写了： 2022年 11月 27日 12:08
当然filtration这个概念也很重要。这个概念理论上很重要，实际中好像没有任何影响，只造成障碍。但我觉得应该会有更重要的应用。
Filtration，在连续时间下表示为F_t，序列时间下表示为F_n，其中每一个是系统可测集的集合，每一个都包含在下一个之中，一个套一个形成一个tower。
可测集代表了什么？代表了这是一个可谈论的事件。不是所有的“事件”都是可谈论的 - 当然，概率论中定义事件为可测集，所以我这里加了引号 - 要在当时条件足够的情况下才可谈论。而可谈论的事件会随着时间的增加认识的增加而越来越多，也就是说，可测集的集合越来越大，很自然就形成了filtration。
这么自然的概念，代表了认识过程的概念，我想它应该有一定的重要性。
Filtration应该和martingale的收敛性关系更大，和stopping time可能关系不大？
比如华为的5G编码，是用martingale来证明它达到信道容量的。编码过程是一个martingale，那么随着码长n 增长，它收敛到一个随机变量。而这个随机变量及其简单，它要么精确传输信息，要么完全不能传输信息，前者的概率等于信道容量。QED
非常漂亮的证明，令人叹为观止。
而stopping time可能在金融赌博之类中比较有用。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 28日 19:40
由 TheMatrix
FoxMe 写了： 2022年 11月 28日 17:27
Filtration应该和martingale的收敛性关系更大，和stopping time可能关系不大？
比如华为的5G编码，是用martingale来证明它达到信道容量的。编码过程是一个martingale，那么随着码长n 增长，它收敛到一个随机变量。而这个随机变量及其简单，它要么精确传输信息，要么完全不能传输信息，前者的概率等于信道容量。QED
非常漂亮的证明，令人叹为观止。
而stopping time可能在金融赌博之类中比较有用。
这个编码和信道容量的证明，情况我不太清楚，但是好像有那么点感觉。
stopping time等于每一个时间的事件，都是可测集。这里可以有一个隐含的filtration - 不是必须 - 这样不就跟stopping time合拍了吗？
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 28日 20:12
由 Caravel
你们难道都是搞金融的，鞅论这种知识很冷门啊，以前在大学书店看过一次这个题目，从来没有翻开过
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 28日 20:45
由 TheMatrix
Caravel 写了： 2022年 11月 28日 20:12
你们难道都是搞金融的，鞅论这种知识很冷门啊，以前在大学书店看过一次这个题目，从来没有翻开过
no. martingale是随机过程最基础的东西，应该在第一章里。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 28日 21:03
由 verdelite
TheMatrix 写了： 2022年 11月 28日 20:45
no. martingale是随机过程最基础的东西，应该在第一章里。
我学统计课的时候学了一点。是sit in的课，没好好学，也没学明白。当时还不懂世人皆傻，以为是我不适合学。也没去找书看，就看看笔记，没看懂，就算了。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 28日 21:21
由 TheMatrix
verdelite 写了： 2022年 11月 28日 21:03
我学统计课的时候学了一点。是sit in的课，没好好学，也没学明白。当时还不懂世人皆傻，以为是我不适合学。也没去找书看，就看看笔记，没看懂，就算了。
不过martingale确实不太好懂，我也是很多年之后才懂。Markov在随机过程里是在martingale之后讲的，但是要好懂的多。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 29日 13:20
由 FoxMe
TheMatrix 写了： 2022年 11月 28日 21:21
Markov在随机过程里是在martingale之后讲的，但是要好懂的多。
一般鞅都是最后才讲吧。
鞅的定义很简单，就是均值保持稳定。为啥可以研究出那么多东西来？
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 29日 13:24
由 TheMatrix
FoxMe 写了： 2022年 11月 29日 13:20
一般鞅都是最后才讲吧。
鞅的定义很简单，就是均值保持稳定。为啥可以研究出那么多东西来？
鞅是最后才讲吗？我怎么记得是在很靠前的地方，至少比Markov靠前。
鞅就是因为它很基础，作为标杆什么都和它比，所以才用的多。我觉得。
随机过程积分的dM好像必须是鞅过程。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 29日 13:25
由 FoxMe
TheMatrix 写了： 2022年 11月 28日 19:40
这个编码和信道容量的证明，情况我不太清楚，但是好像有那么点感觉。
stopping time等于每一个时间的事件，都是可测集。这里可以有一个隐含的filtration - 不是必须 - 这样不就跟stopping time合拍了吗？
5G polar 编码，是史上第一次证明某个（构造性）码达到信道容量。Stopping time我的理解不深。
Re: martingale 和 stopping time 之间的关系 - 目前我只看到它们都和 filtration 有关系
发表于 ： 2022年 11月 29日 15:45
由 FoxMe
TheMatrix 写了： 2022年 11月 29日 13:24
鞅是最后才讲吗？我怎么记得是在很靠前的地方，至少比Markov靠前。
鞅就是因为它很基础，作为标杆什么都和它比，所以才用的多。我觉得。
随机过程积分的dM好像必须是鞅过程。
伊藤积分是martingale.