为什么是不可约表示

[TheMatrix]

物理体系，不是数学的问题，也不是一两个定律的问题，是一套解释体系的问题。比如牛顿力学，f=ma，光知道这个没用。一整套解释体系，解出来怎么解释，代表什么。这是牛顿力学的整个框架，都知道了才有用。

群的不可约表示为什么代表了粒子？这句话什么意思？可约表示不行吗？什么群？

这个我也处在半懂不懂之间。

[rgg]

这个科普或教科书很少见说的明白的。可能都默认读者水平高。
从一无所知入手：
首先量子力学假定物质状态是希尔伯特空间的矢量（就不严谨说射线什么了）--这是出于物理学家信念，不是逻辑必然。 而数学上量子力学里的希尔伯特空间一定有可数正交基。 所以所有的东西都是phi_n,n是基底标记。点粒子就是phi_n = phi_n(t,x), 一个时空标记(t,x)。 注意这里内部空间标记n是没限制的。 一般人不想这个n，就是n=1，粒子没有内部结构； 或者混淆内部空间和外部时空， 做个简单同构n=3. 但量子力学允许更多可能。

那么如果给理论硬加个对称性要求（这也是出于物理学家信念，不是逻辑必然），这个态矢量phi_n要求在对称群作用下协变，它又在线性空间里，自然是这个群群表示空间的元素。--不可约的要求是平凡的，因为可约的话可以分开要求，就不是“基本”粒子了。

所以完整着说是：基本粒子的态矢量是群的不可约表示空间的元素。（这好像只是个充分条件，但照着后者去找前者也都找到了才是amazing）

注意到这些物理学家都是大胆假设，信念飞跃，不是按逻辑推理的。

[verdelite]

物理体系，不是数学的问题，也不是一两个定律的问题，是一套解释体系的问题。比如牛顿力学，f=ma，光知道这个没用。一整套解释体系，解出来怎么解释，代表什么。这是牛顿力学的整个框架，都知道了才有用。

群的不可约表示为什么代表了粒子？这句话什么意思？可约表示不行吗？什么群？

这个我也处在半懂不懂之间。

我觉得你若对这个有兴趣，应该从物理入手，而不是从数学入手。先有物理，后有数学。

[TheMatrix]

我觉得你若对这个有兴趣，应该从物理入手，而不是从数学入手。先有物理，后有数学。

从哪里入手我不挑，只希望最省力。

[rgg]

关于这个内部空间的维数，上面是直接从线性代数角度说的。从微分方程的解出发解释，就是：薛定谔方程假设有一个解，那么坐标旋转一下，问把原来的解直接坐标相应变换，还是不是原来的解？ 硬要要求是的，就是n=1. 原来的解可以拆分成n个部分的和，坐标旋转后，这n个部分按一定的组合就还是原方程的解，就是有内部空间维数n的情形。n没必要等于1或3.

[TheMatrix]

这个科普或教科书很少见说的明白的。可能都默认读者水平高。
从一无所知入手：
首先量子力学假定物质状态是希尔伯特空间的矢量（就不严谨说射线什么了）--这是出于物理学家信念，不是逻辑必然。 而数学上量子力学里的希尔伯特空间一定有可数正交基。 所以所有的东西都是phi_n,n是基底标记。点粒子就是phi_n = phi_n(t,x), 一个时空标记(t,x)。 注意这里内部空间标记n是没限制的。 一般人不想这个n，就是n=1，粒子没有内部结构； 或者混淆内部空间和外部时空， 做个简单同构n=3. 但量子力学允许更多可能。

那么如果给理论硬加个对称性要求（这也是出于物理学家信念，不是逻辑必然），这个态矢量phi_n要求在对称群作用下协变，它又在线性空间里，自然是这个群群表示空间的元素。--不可约的要求是平凡的，因为可约的话可以分开要求，就不是“基本”粒子了。

所以完整着说是：基本粒子的态矢量是群的不可约表示空间的元素。（这好像只是个充分条件，但照着后者去找前者也都找到了才是amazing）

注意到这些物理学家都是大胆假设，信念飞跃，不是按逻辑推理的。

信息量很大。

我先问一个问题。对称群，我用SO(3)举例可不可以？还是一定要用lorentz group？我对lorentz group有点怕，没有感性认识。SO(3)，或者它的Lie algebra so(3)，我查了一下，每一个维度都有一个不可约表示。比如说二维吧，这个对应于spin 1/2：m={-1/2,1/2}。那么态矢量空间只有二维啊。你怎么说phi_n(t,x)，n可以任意多呢？

[rgg]

信息量很大。

我先问一个问题。对称群，我用SO(3)举例可不可以？还是一定要用lorentz group？我对lorentz group有点怕，没有感性认识。SO(3)，或者它的Lie algebra so(3)，我查了一下，每一个维度都有一个不可约表示。比如说二维吧，这个对应于spin 1/2：m={-1/2,1/2}。那么态矢量空间只有二维啊。你怎么说phi_n(t,x)，n可以任意多呢？

是说没看对称性之前，只有一个希尔伯特空间的假设。这个空间太大了。看了之后那是第二点，就限制下来了。

[TheMatrix]

是说没看对称性之前，只有一个希尔伯特空间的假设。这个空间太大了。看了之后那是第二点，就限制下来了。

谢谢。你这个说的希尔伯特空间，是量子力学公理化抽象的希尔伯特空间，还是具体的薛定谔方程 -id_tψ=Hψ里面ψ所在的希尔伯特空间？因为我觉得ψ所在的这个希尔伯特空间，维度降不下来啊，它怎么都是可数无穷维啊。

[rgg]

谢谢。你这个说的希尔伯特空间，是量子力学公理化抽象的希尔伯特空间，还是具体的薛定谔方程 -id_tψ=Hψ里面ψ所在的希尔伯特空间？因为我觉得ψ所在的这个希尔伯特空间，维度降不下来啊，它怎么都是可数无穷维啊。

这俩是一回事吧。代数上是不管基底到底是什么，只把系数写出来；从偏微分方程说就是把基底也写出来，就是特殊函数的组合。例如1/2自旋的spinor写成代数形式就两维复矢量，连基底一块写出来就是俩球谐函数的线性组合。

无穷维可以分成不可约表示的直和，说的是这个不可约表示可以从最小维数一个个研究过来。

[TheMatrix]

这俩是一回事吧。代数上是不管基底到底是什么，只把系数写出来；从偏微分方程说就是把基底也写出来，就是特殊函数的组合。例如1/2自旋的spinor写成代数形式就两维复矢量，连基底一块写出来就是俩球谐函数的线性组合。

无穷维可以分成不可约表示的直和，说的是这个不可约表示可以从最小维数一个个研究过来。

谢谢。第一段我有点明白，还需要再理解理解。

第二段不明白。无穷维可以分解成不可约表示的直和？

[FoxMe]

有道理。