问一个概率问题

[（ヅ）]

正面概率p, 反面概率q = 1-p, p >q

如果我有1块钱，如果我投注比例a,赌一次后期望资本为

1. p*(1+a) + q * (1-a) = 1 + a(p-q)
还是
2. (1+a)^p(1-a)^q

我觉得按照期望公式应该是1吧

[verdelite]

正面概率p, 反面概率q = 1-p, p >q

如果我有100块钱，如果我投注比例a,赌一次后期望资本为

1. p*(100+a) + q * (100-a) = 100 + a(p-q)
还是
2. (100+a)^p(100-a)^q

我觉得按照期望公式应该是1吧

投正面？等额赔付？
应该是1

[（ヅ）]

投正面？等额赔付？
应该是1

赌n次，期望资本难道不应该是(100+a)^pn *(100-a)^qn

那当n=1的时候为什么不是第二个公式？

[rgg]

让a=100, 赌一次的期待肯定不是零；赌n次的期待都不会是零。但你的二式恒等于零.

[（ヅ）]

让a=100, 赌一次的期待肯定不是零；赌n次的期待都不会是零。但你的二式恒等于零.

我改了，初始资本为1，更容易理解

第二个式子是不是应该叫几何期望？对比第一个式子叫算术期望

[CalCat]

正面概率p, 反面概率q = 1-p, p >q

如果我有1块钱，如果我投注比例a,赌一次后期望资本为

1. p*(1+a) + q * (1-a) = 1 + a(p-q)
还是
2. (1+a)^p(1-a)^q

我觉得按照期望公式应该是1吧

Its hard to understand the question. if you flip a coin, 40% likely it will be a head, 60% likely a tail. Then what?

[rgg]

我改了，初始资本为1，更容易理解

第二个式子是不是应该叫几何期望？对比第一个式子叫算术期望

a 很小的情形，取log, 可以看出两者一致.

[nk]

正面概率p, 反面概率q = 1-p, p >q

如果我有1块钱，如果我投注比例a,赌一次后期望资本为

1. p*(1+a) + q * (1-a) = 1 + a(p-q)
还是
2. (1+a)^p(1-a)^q

我觉得按照期望公式应该是1吧

只赌一次的期望是 公式1。
这是假定下了很多次赌，每一次都有起始的投资都是1块（借钱，或者少投资）的最后均值。

这个公式2是几何期望，可以做如下的理解。

赌N次（N比较大）的话，每一次就用已有的资本投资（不许借钱，不想要少投资），那么中值的近似公式是 （1+a)^(N*p) (1-a)^(N*q) 和你的公式2类似。

注意中值一般小于期望（算术均值）。

[（ヅ）]

只赌一次的期望是 公式1。
这是假定下了很多次赌，每一次都有起始的投资都是1块（借钱，或者少投资）的最后均值。

这个公式2是几何期望，可以做如下的理解。

赌N次（N比较大）的话，每一次就用已有的资本投资（不许借钱，不想要少投资），那么中值的近似公式是 （1+a)^(N*p) (1-a)^(N*q) 和你的公式2类似。

注意中值一般小于期望（算术均值）。

谢谢，确实第二个为期望值，第二个考虑的是几何增长率

应该是不同的目标函数

[nk]

谢谢，确实第二个为期望值，第二个考虑的是几何增长率

应该是不同的目标函数

一般人的投资得到的是几何均值的收益，很难达到算术均值的收益。

有一些投资理论就是讨论如何去达到算术均值的收益率。这个很难，需要去借钱，这就有一个在利息上的损失的问题，还有能不能借得到的问题。

[（ヅ）]

一般人的投资得到的是几何均值的收益，很难达到算术均值的收益。

有一些投资理论就是讨论如何去达到算术均值的收益率。这个很难，需要去借钱，这就有一个在利息上的损失的问题，还有能不能借得到的问题。

应该不会最大化期望收益，举个例子说明，我知道硬币正面是0.999，反面0.001，赔率均为2-1，最大化期望的赌博方法就是每次都all in 正面。但是这带来的一个问题是，次数越多越对我不利。当N->infty的时候我输光的概率为1

如果最大化几何增长率，则可以避免这个问题(凯莉公式）

[nk]

应该不会最大化期望收益，举个例子说明，我知道硬币正面是0.999，反面0.001，赔率均为2-1，最大化期望的赌博方法就是每次都all in 正面。但是这带来的一个问题是，次数越多越对我不利。当N->infty的时候我输光的概率为1

如果最大化几何增长率，则可以避免这个问题(凯莉公式）

你的那个例子就是说明了 用最大化的期望的赌博方法的策略是错误的，因为个人的财富是有几何平均来决定的。由于每次都all in 正面，几何平均是0.

所以就不会 all in 正面, 而是留下一定的比例的钱去翻本.

[nk]

如果有人可以给你海量借钱,而且不用负利息,那么肯定每次都all in 正面, 输完了就借钱去赌, 不到几次就可以把赌债给还了.

[（ヅ）]

你的那个例子就是说明了 用最大化的期望的赌博方法的策略是错误的，因为个人的财富是有几何平均来决定的。由于每次都all in 正面，几何平均是0.

所以就不会 all in 正面, 而是留下一定的比例的钱去翻本.

"每次都all in 正面，几何平均是0"

这个解释一下？

[nk]

"每次都all in 正面，几何平均是0"

这个解释一下？

公式 (1+a)^(N*p) (1-a)^(N*q)

带入 a=1,all in 正面), p=0.999, q=0.001

(1+1)^(N*0.999)* (1-1)^(N*0.001)=0

[（ヅ）]

公式 (1+a)^(N*p) (1-a)^(N*q)

带入 a=1,all in 正面), p=0.999, q=0.001

(1+1)^(N*0.999)* (1-1)^(N*0.001)=0

这就是另外一个侧面说明久赌必输

[nk]

这就是另外一个侧面说明久赌必输

也不是久赌必输。如果做好风险控制，就好的多，比如每次不是 all in , 而是 90% in, 那么
就是

（1+0.9)^(N*0.999)* (1-0.9)^(N*0.001)=1.89^N

另外，富家子弟可以多折腾，因为可以向他的父母无息借很多钱。

[nk]

还有是庄家财力雄厚，风险控制做得好，几乎就是处于不败之地。

[pseudo]

一般人的投资得到的是几何均值的收益，很难达到算术均值的收益。

有一些投资理论就是讨论如何去达到算术均值的收益率。这个很难，需要去借钱，这就有一个在利息上的损失的问题，还有能不能借得到的问题。

在这个简单问题上，人们当然可以得到算术平均的收益。这个算术平均的收益，代表了人们的收益函数是简单线性的。

在实际生活中，2倍的收益并不给人们2倍的好处，而是要少一些。所以现实结果更倾向于几何平均。尽管几何平均比算术平均小，但是对人们的收益函数而言，是近似最大化的。

[nk]

在这个简单问题上，人们当然可以得到算术平均的收益。这个算术平均的收益，代表了人们的收益函数是简单线性的。

在实际生活中，2倍的收益并不给人们2倍的好处，而是要少一些。所以现实结果更倾向于几何平均。尽管几何平均比算术平均小，但是对人们的收益函数而言，是近似最大化的。

几何均值在几百年前是按照的你说的那种 utility function 来计算期望来发展起来的。

但现代投资理论开始考虑个人的实际情况。现在财富不均，很多时候中位数比平均数小多了。中位数才能反应多数人的情况。

算术平均的收益是所有人放在一起来的，但是对于个人的收益就是千差万别的。

所以不能看一次投资的算术平均，要看N次连续投资，这样的收益的中位数就是几何均值。这样的收益才是多数人能获得的收益。