平面几何题

[FGH]

四个半价为r1,r2,r3,r4的圆两两外切。令bj=1/rj。则
(b1+b2+b3+b4)^2=2(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2).

如果把r1圆换成直线，等式也成立，只要把b1换成0。
如果r1圆和其它圆内切，把b1换成-1/r1，等式任然成立。

[TheMatrix]

四个半价为r1,r2,r3,r4的圆两两外切。令bj=1/rj。则
(b1+b2+b3+b4)^2=2(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2).

如果把r1圆换成直线，等式也成立，只要把b1换成0。
如果r1圆和其它圆内切，把b1换成-1/r1，等式任然成立。

这个我觉得用computer algebra可以算。brute force法。

假设r₄是三个大圆中间的小圆。三个大圆的半径只要定下来，相切的位置关系就定下来了。那么中间的小圆的位置以及大小就定下来了。而三个大圆的半径（基本上）没有约束。也就是说r1,r2,r3,r4之间有一个方程。只有一个。

考虑三个大圆圆心构成的三角形，以及中间小圆圆心到三个顶点所分割的三个小三角形。用海伦公式把面积用边表出。三个小三角形的面积相加等于大三角形的面积。这就得到r1,r2,r3,r4之间的那个方程。这4个量只有这一个关系。

然后用这个关系导出目标关系。这个computer algebra应该可以做。就是求一个多项式的因式分解。

[verdelite]

这个我觉得用computer algebra可以算。brute force法。

假设r₄是三个大圆中间的小圆。三个大圆的半径只要定下来，相切的位置关系就定下来了。那么中间的小圆的位置以及大小就定下来了。而三个大圆的半径（基本上）没有约束。也就是说r1,r2,r3,r4之间有一个方程。只有一个。

考虑三个大圆圆心构成的三角形，以及中间小圆圆心到三个顶点所分割的三个小三角形。用海伦公式把面积用边表出。三个小三角形的面积相加等于大三角形的面积。这就得到r1,r2,r3,r4之间的那个方程。这4个量只有这一个关系。

然后用这个关系导出目标关系。这个computer algebra应该可以做。就是求一个多项式的因式分解。

好办法。我只想到列6个方程然后消元。和解析几何证明海伦公式一样复杂。

[TheMatrix]

好办法。我只想到列6个方程然后消元。和解析几何证明海伦公式一样复杂。

computer algebra就是不怕麻烦。:)

但是这个定理的发现，还不是computer algebra能做的，需要更有智慧的AI。

[（ヅ）]

这个我觉得用computer algebra可以算。brute force法。

假设r₄是三个大圆中间的小圆。三个大圆的半径只要定下来，相切的位置关系就定下来了。那么中间的小圆的位置以及大小就定下来了。而三个大圆的半径（基本上）没有约束。也就是说r1,r2,r3,r4之间有一个方程。只有一个。

考虑三个大圆圆心构成的三角形，以及中间小圆圆心到三个顶点所分割的三个小三角形。用海伦公式把面积用边表出。三个小三角形的面积相加等于大三角形的面积。这就得到r1,r2,r3,r4之间的那个方程。这4个量只有这一个关系。

然后用这个关系导出目标关系。这个computer algebra应该可以做。就是求一个多项式的因式分解。

b = 1/r是曲率

强行算有点麻烦，用反演变换，注意到两个圆的关系只能是0, 1，2或者无穷多的交点，在这个反演变换的双射下一样变换后也是只能0,1,2,或者无穷多交点

在某个两圆切点处为反演中心做反演变换，这两个圆得到两条平行线，线距离反演中心的距离是R^2/2r（反比与被反演圆半径r, 正比与被反演圆曲率1/r，),跟被反演的圆的圆心与反演中心相连的直线垂直.

另外两个不过次切点的圆，反演后得到还是两个圆。考虑交点的关系以及反演双射，这两个圆反演变换后一定是这两条平行直线中的两个相切圆

后面的应该是trivial，算就是了

[FGH]

进阶问题：把命题推广到球面几何与双曲几何。

[rgg]

b = 1/r是曲率

强行算有点麻烦，用反演变换，注意到两个圆的关系只能是0, 1，2或者无穷多的交点，在这个反演变换的双射下一样变换后也是只能0,1,2,或者无穷多交点

在某个两圆切点处为反演中心做反演变换，这两个圆得到两条平行线，线距离反演中心的距离是R^2/2r（反比与被反演圆半径r, 正比与被反演圆曲率1/r，),跟被反演的圆的圆心与反演中心相连的直线垂直.

另外两个不过次切点的圆，反演后得到还是两个圆。考虑交点的关系以及反演双射，这两个圆反演变换后一定是这两条平行直线中的两个相切圆

后面的应该是trivial，算就是了

赞！高等平面几何知识.