阿贝尔簇(Abelian Variety)

[FoxMe]

阿贝尔簇(Abelian Variety)有两种定义：
（1）构成群的代数簇。比如椭圆曲线，连接两点的直线与椭圆曲线相交于第三点。
（2）Complex torus C^g/L，这里g是genus, L是g维复空间中的格。比如椭圆曲线同构于C/L（对应于g=1）。
引入群之后就变得更有意思了。但是这两种定义的联系却难以理解（椭圆曲线可以用Weierstrass 函数联系）。

除了椭圆曲线，写出一个阿贝尔簇的方程式都很困难。

[TheMatrix]

阿贝尔簇(Abelian Variety)有两种定义：
（1）构成群的代数簇。比如椭圆曲线，连接两点的直线与椭圆曲线相交于第三点。
（2）Complex torus C^g/L，这里g是genus, L是g维复空间中的格。比如椭圆曲线同构于C/L（对应于g=1）。
引入群之后就变得更有意思了。但是这两种定义的联系却难以理解（椭圆曲线可以用Weierstrass 函数联系）。

除了椭圆曲线，写出一个阿贝尔簇的方程式都很困难。

你想不想写一个椭圆曲线等价一个Torus的比较详细的过程？应该可以引出一些问题。

[FoxMe]

C/L中的加法很简单，就是普通加法u+v。这个加法怎么对应于“连接两点的直线与椭圆曲线相交于第三点”呢？

非常巧：Weierstrass P-函数刚好满足。椭圆曲线可以用Weierstrass P-函数来参数化，而这是个椭圆函数，可以定义在C/L上。

假如P(u)和P(v)来参数化两点U和V，第三点W=U+V的参数恰好是P(u+v)。

椭圆曲线密码就是利用这个群。好像是给定一个点U，对很大的整数N，计算N U容易，但是从N U算出N却很困难。

[TheMatrix]

C/L中的加法很简单，就是普通加法u+v。这个加法怎么对应于“连接两点的直线与椭圆曲线相交于第三点”呢？

非常巧：Weierstrass P-函数刚好满足。椭圆曲线可以用Weierstrass P-函数来参数化，而这是个椭圆函数，可以定义在C/L上。

假如P(u)和P(v)来参数化两点U和V，第三点W=U+V的参数恰好是P(u+v)。

椭圆曲线密码就是利用这个群。好像是给定一个点U，对很大的整数N，计算N U容易，但是从N U算出N却很困难。

很好。

这个地方我有机会还要再打通一下：
https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstra ... c_function

[FoxMe]

Weierstrass椭圆函数把椭圆曲线和modular form联系起来了，这就非常厉害。费马大定理的证明用到这个联系。

有个问题不明白：
椭圆曲线y^2 = x^3 + ax + b是affine曲线，为啥要视为projective variety?
ZY^2 = X^3 + aZ^2X + bZ^3
有啥好处？

[FoxMe]

代数几何与数论结合起来，就更有意思了，叫算术几何。数论中的很多问题，比如多项式方程的有理解，需要算术几何。

比如椭圆曲线上的有理点组成一个群，叫Mordell-Weil群。Mordell-Weil定理说这个群是有限生成的，那么它的秩是多少？现在还没有解决，只有一个猜想：BSD猜想，它说Mordell-Weil群的秩等于椭圆曲线的L函数在s=1处的零点的阶。典型的解析数论。

BSD猜想是七个千禧数学猜想之一。中国人应该往这个方向努力，争取证明它。BSD猜想应该是最有可能下一个被证明的千禧猜想，以为费马大定理的这么已经做了很多铺垫，比如椭圆曲线与modular form的联系。

[TheMatrix]

代数几何与数论结合起来，就更有意思了，叫算术几何。数论中的很多问题，比如多项式方程的有理解，需要算术几何。

比如椭圆曲线上的有理点组成一个群，叫Mordell-Weil群。Mordell-Weil定理说这个群是有限生成的，那么它的秩是多少？现在还没有解决，只有一个猜想：BSD猜想，它说Mordell-Weil群的秩等于椭圆曲线的L函数在s=1处的零点的阶。典型的解析数论。

BSD猜想是七个千禧数学猜想之一。中国人应该往这个方向努力，争取证明它。BSD猜想应该是最有可能下一个被证明的千禧猜想，以为费马大定理的这么已经做了很多铺垫，比如椭圆曲线与modular form的联系。

这个地方确实值得投入精力，本身也很丰富，有意思。

[FoxMe]

椭圆曲线可以作为一门课程，不懂代数几何的人也能学懂。

但是到了阿贝尔簇，变得很抽象。比如椭圆曲线可以用Weierstrass 函数来描述，阿贝尔簇怎么描述？还没弄懂。

[TheMatrix]

椭圆曲线可以作为一门课程，不懂代数几何的人也能学懂。

但是到了阿贝尔簇，变得很抽象。比如椭圆曲线可以用Weierstrass 函数来描述，阿贝尔簇怎么描述？还没弄懂。

椭圆曲线是 y² = x³ + ax + b 的形式。

Weierstrass P-函数是用级数定义的。是一个椭圆函数 - 双周期。

椭圆曲线怎么用 Weierstrass P-函数描述？

[TheMatrix]

椭圆曲线是 y² = x³ + ax + b 的形式。

Weierstrass P-函数是用级数定义的。是一个椭圆函数 - 双周期。

椭圆曲线怎么用 Weierstrass P-函数描述？

P'² = 4P³ - g₂P - g₃

这个方程把P函数“联系上了”一个椭圆曲线。可以看成是从the domain of椭圆函数，到the domain of椭圆曲线，的一次映射。这个映射可以扩展到整个domain上(?)。是这个关系吧？

[TheMatrix]

P'² = 4P³ - g₂P - g₃

这个方程把P函数“联系上了”一个椭圆曲线。可以看成是从the domain of椭圆函数，到the domain of椭圆曲线，的一次映射。这个映射可以扩展到整个domain上(?)。是这个关系吧？

等一下。之前还有一个关系：P函数是一个双周期函数（椭圆函数）。在周期上的每一个点z，都有一个(P(z),P'(z))，而根据那个等式，对应于那个椭圆曲线上的一点。所以这是一个椭圆函数的一个周期（等价于一个torus），到椭圆曲线（零点集）的一个映射。这也是一个关系。

[FoxMe]

对，这个微分方程刚好这么巧，对上椭圆曲线。

由于P函数的周期性(周期L)，一条椭圆曲线同构于C/L。咋一看，令人匪夷所思：C/L是一个有面积的平行四边形，而椭圆曲线只是一条线（没有面积），它们居然同构。

[TheMatrix]

对，这个微分方程刚好这么巧，对上椭圆曲线。

由于P函数的周期性(周期L)，一条椭圆曲线同构于C/L。咋一看，令人匪夷所思：C/L是一个有面积的平行四边形，而椭圆曲线只是一条线（没有面积），它们居然同构。

椭圆曲线是一条复数“线”，实二维，所以其有面积似乎也不难理解。

[TheMatrix]

对，这个微分方程刚好这么巧，对上椭圆曲线。

由于P函数的周期性(周期L)，一条椭圆曲线同构于C/L。咋一看，令人匪夷所思：C/L是一个有面积的平行四边形，而椭圆曲线只是一条线（没有面积），它们居然同构。

又看了点modular group - 2X2 det=1 的整数矩阵。有一个问题还不能合理化。

1，一个椭圆函数可以联系到一个椭圆曲线，比如Wierstrass P函数。

2，而一个椭圆函数是由一个lattice产生的，二维的级数。

3，而一个lattice，固定一边为1的话，只取决于另一边顶点位置，也就是上半复平面一个复数。

4，modular group可以操作上半复平面，以平移1和取负倒数反演的组合的方式，也就是linear fraction的方式。

5，一个 lattice点，被modular group操作得到另一个lattice点。这两个点得到的两个lattice再得到两个椭圆函数最后得到的两个椭圆曲线，能同构吗？

lattice这种格点结构，显然有一些平移对称，某种旋转对称也是可能的。但是好像不应该有负倒数反演对称啊。linear fraction作用在上面，还能不变吗？

[FoxMe]

如果格的基是{z, 1}, 那么乘以矩阵(a, c; b, d)之后得到{az+b, cz+d}。因为a,b,c,d为整数，且det=1，基{az+b, cz+d}产生同一个格。我们可以归一化得到基{(az+b)/(cz+d), 1}，产生的格不同，但是equivalent（不知道怎么叫），即是原来的格的旋转和放大/缩小。那么对应的椭圆曲线同构（这里有点疑问）。

所以上半复平面quotient by modular group给出了所有椭圆曲线, up to isomorphism.

[FoxMe]

应该是对的，椭圆曲线的同构就是这么定义的，允许乘以一个复数w, wL = L'。L, L'是椭圆曲线对应的格。

[TheMatrix]

如果格的基是{z, 1}, 那么乘以矩阵(a, c; b, d)之后得到{az+b, cz+d}。因为a,b,c,d为整数，且det=1，基{az+b, cz+d}产生同一个格。我们可以归一化得到基{(az+b)/(cz+d), 1}，产生的格不同，但是equivalent（不知道怎么叫），即是原来的格的旋转和放大/缩小。那么对应的椭圆曲线同构（这里有点疑问）。

所以上半复平面quotient by modular group给出了所有椭圆曲线, up to isomorphism.

{z, 1} 产生的格，和{az+b, cz+d}产生的格，是相同的吗？

[TheMatrix]

{z, 1} 产生的格，和{az+b, cz+d}产生的格，是相同的吗？

确实，是相同的。{az+b, cz+d}可以以整数系数线性组合产生z和1。这里用到det=1。应该是Bezout定理的扩展。

所以在格点这一步就相同了，后面的椭圆函数和椭圆曲线也就同构了。

[FoxMe]

"上半复平面quotient by modular group给出了所有椭圆曲线, up to isomorphism."

上半复平面quotient by modular group，也有一个专门名词，叫modular curve，这是moduli space的一个例子。

但是modular curve为啥也是曲线（有时是椭圆曲线），实在令人费解。

[FoxMe]

有人把{az+b, cz+d}到{(az+b)/(cz+d), 1}解释为projective，这和椭圆曲线是projective curve有啥关系吗？

确实，是相同的。{az+b, cz+d}可以以整数系数线性组合产生z和1。这里用到det=1。应该是Bezout定理的扩展。

所以在格点这一步就相同了，后面的椭圆函数和椭圆曲线也就同构了。