出个和Langlands Program相关的题，下面的数列接下来十位分别是什么？

[randomatrices]

1) 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0,......
2) 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1,......

[randomatrices]

和黎曼猜想直接相关的数列是：
1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，。。。。。。
及定义黎曼zeta函数的级数的每一项的系数

1) 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0,......
2) 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1,......

[TheMatrix]

和黎曼猜想直接相关的数列是：
1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，。。。。。。
及定义黎曼zeta函数的级数的每一项的系数

哦你这么说一下大家就来了兴趣。

[TheMatrix]

1) 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0,......
2) 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1,......

首先看它们是否是character - 是否有乘性。它们好像不是character。那就狂野了。

[randomatrices]

是没有乘性。先看看数列2）， 我让Sage多算几位（NumberField(x^2+1, "x").zeta_coefficients(50)）：
1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 3， 。。。。。。
第n项是Guassian Integer 的 norm 等于 n 的个数 （差 -1， i， -i 因子的 Gaussian Interger算同一个）
不知道Sage用什么算法产生这个序列， 但是貌似这个数列 c 可以从以下两个数列产生：
a:（1，1，1，1，1，1，。。。。。。）
b:（1，0，-1，0，1，0，-1，0，。。。。。。）
c = a*b, *是什么？

首先看它们是否是character - 是否有乘性。它们好像不是character。那就狂野了。

[FoxMe]

分解 n = 2^k2 3^k3 5^k5 ...
Guassian Integer 的 norm 等于 n 的个数可从k2, k3, k5...中算出

c = a*b, *是（乘性）卷积
b是某个L函数（的character）。L函数的乘积对应于系数的卷积。

[randomatrices]

正解。
a:（1，1，1，1，1，1，。。。。。。）
b:（1，0，-1，0，1，0，-1，0，。。。。。。）
c: (1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 3， 。。。。。。)
c_n = sum of all pairs of a_i*b_j with i*j=n
a 是对应黎曼zeta函数的L-function（https://www.lmfdb.org/L/1/1/1.1/r0/0/0）， b是另一个L-function（https://www.lmfdb.org/L/1/2e2/4.3/r1/0/0）。
c也对应一个L-funtion吗？这一点是我不理解的。c是Hasse-Weil L-function？还是说c的系数要进行另一番操作才对应一个L-function？

分解 n = 2^k2 3^k3 5^k5 ...
Guassian Integer 的 norm 等于 n 的个数可从k2, k3, k5...中算出

c = a*b, *是（乘性）卷积
b是某个L函数（的character）。L函数的乘积对应于系数的卷积。

[TheMatrix]

正解。
a:（1，1，1，1，1，1，。。。。。。）
b:（1，0，-1，0，1，0，-1，0，。。。。。。）
c: (1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 3， 。。。。。。)
c_n = sum of all pairs of a_i*b_j with i*j=n
a 是对应黎曼zeta函数的L-function（https://www.lmfdb.org/L/1/1/1.1/r0/0/0）， b是另一个L-function（https://www.lmfdb.org/L/1/2e2/4.3/r1/0/0）。
c也对应一个L-funtion吗？这一点是我不理解的。c是Hasse-Weil L-function？还是说c的系数要进行另一番操作才对应一个L-function？

嗯。确实，c是a和b的卷积。

Gaussian Integer的norm的定义是|a+bi|=a²+b²吧？这个个数能用两个简单的序列的卷积算出来，也是一个比较巧妙的方法。

(Σa_nn^x)(Σb_mm^x)=Σa_nb_m(mn)^x=Σc_nn^x

[FoxMe]

对的，c也对应一个L-function。陈景润，张益唐这些人就成天琢磨L-function。

正解。
a:（1，1，1，1，1，1，。。。。。。）
b:（1，0，-1，0，1，0，-1，0，。。。。。。）
c: (1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 3， 。。。。。。)
c_n = sum of all pairs of a_i*b_j with i*j=n
a 是对应黎曼zeta函数的L-function（https://www.lmfdb.org/L/1/1/1.1/r0/0/0）， b是另一个L-function（https://www.lmfdb.org/L/1/2e2/4.3/r1/0/0）。
c也对应一个L-funtion吗？这一点是我不理解的。c是Hasse-Weil L-function？还是说c的系数要进行另一番操作才对应一个L-function？

[randomatrices]

查了一下，c是number field Z（i）上的Deddkind zeta function，也是L-function。
L-function的几大特点要数都有：convergent, analytical continuation, Euler product and functional equation.

对的，c也对应一个L-function。陈景润，张益唐这些人就成天琢磨L-function。

[randomatrices]

4k+1类的prime可以是2个Gaussian integer的norm。
4k+3类的prime是0个Gaussian integer的norm。
这大概是可以从1，0，-1，0 。。。。。。和1，1，1，1 。。。。。。卷出norm原因。

嗯。确实，c是a和b的卷积。

Gaussian Integer的norm的定义是|a+bi|=a²+b²吧？这个个数能用两个简单的序列的卷积算出来，也是一个比较巧妙的方法。

(Σa_nn^x)(Σb_mm^x)=Σa_nb_m(mn)^x=Σc_nn^x

[TheMatrix]

查了一下，c是number field Z[ i ]上的Deddkind zeta function，也是L-function。
L-function的几大特点要数都有：convergent, analytical continuation, Euler product and functional equation.

哦。我看了Deddkind zeta function的定义，用到ideal的index，或者叫norm。看起来应该是和Gaussian integer的norm，也就是|a+bi|=a²+b²，是等价的。

[randomatrices]

c是Dedekind zeta function，也是L-function，初看各项系数没有乘性， 但这不妨碍它有Euler product。
Dedekind zeta function的Euler product各项是number field 的prime的norm。
比如在c中, 3不是任何Guassian integer的norm, 所以在c 中第3项系数为0，但是3是Gaussian prime, 它的norm是9，c中第九项系数为1，这两项不满足乘性， 但Euler product 会有含“9”的项， 没有含“3” 的项， Euler product 分解继续存在。

正解。
a:（1，1，1，1，1，1，。。。。。。）
b:（1，0，-1，0，1，0，-1，0，。。。。。。）
c: (1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 3， 。。。。。。)
c_n = sum of all pairs of a_i*b_j with i*j=n
a 是对应黎曼zeta函数的L-function（https://www.lmfdb.org/L/1/1/1.1/r0/0/0）， b是另一个L-function（https://www.lmfdb.org/L/1/2e2/4.3/r1/0/0）。
c也对应一个L-funtion吗？这一点是我不理解的。c是Hasse-Weil L-function？还是说c的系数要进行另一番操作才对应一个L-function？

[randomatrices]

在所有的L-function的集合中，加法的定义已经完全建立， 即两个L-function的系数的卷积产生第三个L-function。
Langlands program 猜测， 还可以定义一个乘法，这属于Langlands functoriality猜测， 貌似对很多L-function各种步骤还没有完全定义好。
同时还可以定义inner product 和 scalar product， 这属于Langlands program中的Selberg orthonormality猜测。

[TheMatrix]

在所有的L-function的集合中，加法的定义已经完全建立， 即两个L-function的系数的卷积产生第三个L-function。
Langlands program 猜测， 还可以定义一个乘法，这属于Langlands functoriality猜测， 貌似对很多L-function各种步骤还没有完全定义好。
同时还可以定义inner product 和 scalar product， 这属于Langlands program中的Selberg orthonormality猜测。

谢谢。这小段提纲携领，指出不少东西。

哦。L-function集合中的加法应该定义为两个级数系数的卷积？makes sense - 实际上也是两个级数的乘法。而且乘法是可交换的。

L-function集合中的乘法应该什么样？加法都已经是乘法了，那乘法应该是什么？呵呵，好像有点拗口了。有没有例子？

[randomatrices]

看看这个

我在跟他学

谢谢。这小段提纲携领，指出不少东西。

哦。L-function集合中的加法应该定义为两个级数系数的卷积？makes sense - 实际上也是两个级数的乘法。而且乘法是可交换的。

L-function集合中的乘法应该什么样？加法都已经是乘法了，那乘法应该是什么？呵呵，好像有点拗口了。有没有例子？

[TheMatrix]

看看这个

我在跟他学

听了两个episode。获益良多。

[TheMatrix]

看看这个

我在跟他学

又看了两个episode。讲得太好了。第一次对Langlands program有了稍微清楚一点的了解。

[forecasting]

又看了两个episode。讲得太好了。第一次对Langlands program有了稍微清楚一点的了解。

这家伙（Matthew）很活泼，讲课时经常做鬼脸

[forecasting]