最早的证明来自凯勒的学生 Wolfgang Engel。 1955年他在著名的数学期刊《Mathematische Annalen》上发表了二维雅可比猜想的证明。接着，意大利数学家塞格雷（Beniamino Segre）在1956年和1960年先后发表了三个n维雅可比猜想的证明，还引用了 Wolfgang Engel 的工作。他在第三篇证明论文中提出了一个问题——寻找雅可比猜想的纯代数证明。一年后，奥地利数学家格罗布纳（Wolfgang Gröbner）发表了一个纯代数证明。看起来雅可比猜想已经解决了，沙法列维奇（I. R. Shafarevich）在1967年发表的论文中已经把n维雅可比猜想作为定理使用了。
但是问题出现了。扎里斯基（Oscar Zariski），20世纪最伟大的代数几何学家之一，发现了格罗布纳文章中的一个计算错误，使得他的证明不再成立（[2]）。1970年，I. Canals 和 E. Lluis 在塞格雷的证明中发现一个引理的证明有误，发表了一篇纠错的论文。即使如此，塞格雷的证明仍不完整。
扎里斯基的学生、普渡大学印度裔数学家阿比安卡尔（Shreeram S. Abhyankar）招收了一位华裔学生名叫莫宗坚（Tzuong-tsieng Moh），如今是普渡大学数学系荣休教授。据莫宗坚回忆，1960年代末的一天，他们在普渡大学的一次讨论班上做报告，把雅可比猜想作为定理使用，被坐在听众席中的扎里斯基当即指出它还没有被证明。
1975年，阿比安卡尔和莫宗坚发表了一篇重要的论文，不仅指出了塞格雷的错误，还发现了 I. Canals 和 E. Lluis 纠错论文中的错误。同一年，前苏联数学家维图什金（A. G. Vitushkin）在二十年前 Wolfgang Engel 发表的证明中找出了两个错误。至此，五篇公开发表的证明都是错的（[2]）。
从70年代以来，对雅可比猜想的研究取得了不少进展，也出现了一些新的错误证明，例如 Susumu Oda 在1980年的预印本中给出的证明。2004年，密歇根大学数学系教授 Mel Hochster 宣布 Carolyn Dean 证明了二维雅可比猜想，引起了较大的轰动。Carolyn Dean 是密歇根大学的一位数学讲师，Mel Hochster 仔细检查了她文章中的每一个细节后确信是正确的。但是不久就被发现这也是一个错误的证明。2005年，苏育才教授在arXiv 提交了论文《二维雅可比猜想的证明》，莫宗坚教授随后发文指出证明是错的（[4]）。
无疑，这是一个很难的问题，但它的描述非常简单，阿比安卡尔1976年发表在《美国数学月刊》上的一篇文章称其为 High-School Implicit Function Theorem（[7]）。我们知道数学分析中有一个重要的定理叫做隐函数组定理，它有一个特殊情形即反函数组定理，大意是如果函数组在一点处的雅可比行列式不为零，那么它在这一点的某一领域内存在反函数组。雅可比猜想可以看作反函数组定理从局部到整体的推广。它的描述如下。
设 C 为复数域（或特征为0的代数闭域），考虑 Cn （n ≥ 2）到自身的多项式映射 F：
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其中每一个 Fi(z) 都是多项式。如果对所有的 z ∈ Cn ，F 的雅可比行列式
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是一个非0的常数，那么多项式映射 F 是可逆的，并且逆也是一个多项式映射，这就是n维（复）雅可比猜想。
此外还有广义雅可比猜想、实雅可比猜想等各种不同的版本。
n=1 时的雅可比猜想显然成立（由 F'(z)=a≠0 得到 F(z)=az+b，它的逆是 z=(F-b)/a）），所以只考虑 n ≥ 2 的情形。一些论文证明了在一些特殊情形下雅可比猜想成立，例如取特定的维数和多项式映射的次数（多项式映射 F 的次数为 Fi 中的最高次数），一些论文将其转化为各种等价的形式，从不同的角度去研究，使用的方法有分析、代数或者几何等等，不一而足。
