Σ 1/(1+n^2)

[TheMatrix]

证明
Σ_n=1 1/(1+n²) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...

[changbaihou]

证明
Σ_n=1 1/(1+n²) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...

可能需要改一改才对，比如改成\sum_{k=0}^{\infty}(\zeta(4k+2)-\zeta(4k)).

[TheMatrix]

可能需要改一改才对，比如改成\sum_{k=0}^{\infty}(\zeta(4k+2)-\zeta(4k)).

那不是差不多嘛？

另外，你这个好像相减的方向不对吧？ζ(4k+2) < ζ(4k)，你这个减出来是负的，而 Σ 1/(1+n²) 是正的。

[TheMatrix]

证明
Σ_n=1 1/(1+n²) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...

Start with
1/(1-x)=1+x+x²+...

1/(1+x)=1-x+x²-x³+...
1/(1+x²)=1-x²+x⁴-x⁶+...

令 x=1/y，这样y的收敛区间从 x<1 变为等价的 y>1：
1/(1+1/y²) = 1-1/y²+1/y⁴-1/y⁶+...
1/(1+y²) = 1/y²-1/y⁴+1/y⁶-...

所以
1/(1+n²) = 1/n²-1/n⁴+1/n⁶-...

写出阵列：
1/(1+1²) = 1/1²-1/1⁴+1/1⁶-...
1/(1+2²) = 1/2²-1/2⁴+1/2⁶-...
1/(1+3²) = 1/3²-1/3⁴+1/3⁶-...

全部加起来，竖着看，就得到：
Σ_n=1 1/(1+n²) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...

[TheMatrix]

可能需要改一改才对，比如改成\sum_{k=0}^{\infty}(\zeta(4k+2)-\zeta(4k)).

哦。刚明白你这个是对的。我那个差了1/2，刚好是-ζ(0)。

[randomatrices]

我也刚看明白，你那个1/2是你的推导中唯一用到的不收敛级数

哦。刚明白你这个是对的。我那个差了1/2，刚好是-ζ(0)。