比较一下两个素数问题

[TheMatrix]

1，x²+1中的素数。

2，Z[x]/(x²+1)，也就是 Z[ i ]中的素数。

这两个应该很不同。能不能互相借鉴一下？

[TheMatrix]

1，x²+1中的素数。

2，Z[x]/(x²+1)，也就是 Z[ i ]中的素数。

这两个应该很不同。能不能互相借鉴一下？

这里面有这么几个事情：

(x²+1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x²+1) = Z[ i ]

每一个里面都有素数。

[TheMatrix]

这里面有这么几个事情：

(x²+1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x²+1) = Z[ i ]

每一个里面都有素数。

5是Z里的素数，但不是Z[ i ]里的素数，因为5=(1+2i)(1-2i)，而1+2i和1-2i是Z[ i ]里的素数。

3是Z里的素数，也是Z[ i ]里的素数。

lift到Z[x]里是什么？

[TheMatrix]

这里面有这么几个事情：

(x²+1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x²+1) = Z[ i ]

每一个里面都有素数。

还有：

(x²+1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x²+1) = Z[ i ]

evaluation map: x=a，

(a²+1) ---> Z ---> Z/(a²+1)

有没有equivariant？考虑的是竖向箭头，有没有commutative diagram？

有无穷多个evaluation map: Z[x] ---> Z。记为 Hom(Z[x],Z)。

[TheMatrix]

还有：

(x²+1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x²+1) = Z[ i ]

evaluation map: x=a，

(a²+1) ---> Z ---> Z/(a²+1)

有没有equivariant？考虑的是竖向箭头，有没有commutative diagram？

有无穷多个evaluation map: Z[x] ---> Z。记为 Hom(Z[x],Z)。

代一个数进去：x=4，x²+1=17，Z/(17)=Z/17Z，这是一个域。
所以我们得到了一个 Z[ i ] ---> Z/17Z 的一个map。surjective。
所以其kernel是一个maximal ideal of Z[ i ]。

也就是说我们要找全部的maximal ideal of Z[ i ], such that the quotient is finite.

[TheMatrix]

代一个数进去：x=4，x²+1=17，Z/(17)=Z/17Z，这是一个域。
所以我们得到了一个 Z[ i ] ---> Z/17Z 的一个map。surjective。
所以其kernel是一个maximal ideal of Z[ i ]。

也就是说我们要找全部的maximal ideal of Z[ i ], such that the quotient is finite.

但是Z[ i ]是principal ideal domain，那么Z[ i ] ---> Z/17Z的kernel是由单一元素生成的，irreducible, prime, and maximal。那么这个元素是什么？

[TheMatrix]

但是Z[ i ]是principal ideal domain，那么Z[ i ] ---> Z/17Z的kernel是由单一元素生成的，irreducible, prime, and maximal。那么这个元素是什么？

哦。这个元素是i-4。这是一个prime in Z[ i ]。

[YWY]

学习了。

[TheMatrix]

还有：

(x²+1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x²+1) = Z[ i ]

evaluation map: x=a，

(a²+1) ---> Z ---> Z/(a²+1)

有没有equivariant？考虑的是竖向箭头，有没有commutative diagram？

有无穷多个evaluation map: Z[x] ---> Z。记为 Hom(Z[x],Z)。

好像归结为这样一个问题：

令 φ: Z[x] ---> Z[ i ] be the canonical map，也就是Z[x] ---> Z[x]/(x²+1) = Z[ i ]。
令 p₁₃: Z ---> Z/13Z be the map as showed.

2+3i 是 Z[ i ]里的prime，而且 Z[ i ]/(2+3i) = Z/13Z，令这个map为g₁₃.

问：g₁₃能不能lift到a map Ψ: Z[x] ---> Z，such that
p₁₃.Ψ = g₁₃.φ
?

[YWY]

好像归结为这样一个问题：

令 φ: Z[x] ---> Z[ i ] be the canonical map，也就是Z[x] ---> Z[x]/(x²+1) = Z[ i ]。
令 p₁₃: Z ---> Z/13Z be the map as showed.

2+3i 是 Z[ i ]里的prime，而且 Z[ i ]/(2+3i) = Z/13Z，令这个map为g₁₃.

问：g₁₃能不能lift到a map Ψ: Z[x] ---> Z，such that
p₁₃.Ψ = g₁₃.φ
?

你这个map Ψ可以是x --> 8的赋值映射；这个8的选择不唯一，所有13k+8的整数都可以，比如用x --> 21这个赋值映射也可以。至于怎么找8这个值，可以看g₁₃.φ这个映射下x在Z/13Z里的函数值。

[TheMatrix]

你这个map Ψ可以是x --> 8的赋值映射；这个8的选择不唯一，所有13k+8的整数都可以，比如用x --> 21这个赋值映射也可以。至于怎么找8这个值，可以看g₁₃.φ这个映射下x在Z/13Z里的函数值。

嗯。确实。

13是4k+1素数。但不是x²+1素数。我还以为可能没有lift。不过同余映射有lift也可以理解。

如果选4k+3素数，比如3或者7，还有lift吗？也就是改成p₇=Z/7Z，和g₇=Z[ i ]/(7)。

[YWY]

嗯。确实。

13是4k+1素数。但不是x²+1素数。我还以为可能没有lift。不过同余映射有lift也可以理解。

如果选4k+3素数，比如3或者7，还有lift吗？也就是改成p₇=Z/7Z，和g₇=Z[ i ]/(7)。

假如能找到 Ψ 使得 p₇.Ψ = g₇.φ。因为g₇.φ是满射，所以p₇必须是满射。但是p₇是从Z/7Z到Z[i]/(7)的映射，不可能是满射（第一个域7个元素，第二个域49个元素）。所以Ψ不存在。

[TheMatrix]

假如能找到 Ψ 使得 p₇.Ψ = g₇.φ。因为g₇.φ是满射，所以p₇必须是满射。但是p₇是从Z/7Z到Z[i]/(7)的映射，不可能是满射（第一个域7个元素，第二个域49个元素）。所以Ψ不存在。

哦。对。Z[ i ]/(7)是一个finite field，但是有7²=49个元素。

[FoxMe]

思路很好，但是估计不大可能，否则人家早做了。

1，x²+1中的素数。

2，Z[x]/(x²+1)，也就是 Z[ i ]中的素数。

这两个应该很不同。能不能互相借鉴一下？

[TheMatrix]

思路很好，但是估计不大可能，否则人家早做了。

是。x²+1中的素数，这样的问题不是代数方程就能解决的。肯定要超越代数方程。

[TheMatrix]

嗯。确实。

13是4k+1素数。但不是x²+1素数。我还以为可能没有lift。不过同余映射有lift也可以理解。

如果选4k+3素数，比如3或者7，还有lift吗？也就是改成p₇=Z/7Z，和g₇=Z[ i ]/(7)。

这个问题不合适。

应该是这样的：一方面，
Z[x] ---> Z ---> Z/(n²+1)
这里第一个map是evaluation at x=n。

另一方面，
Z[x] ---> Z[ i ] ---> Z/(n²+1)
这里第二个是induced by the commutative diagram。

也就是Z[x]到Z/(n²+1)要模去两个东西：x=n和n²+1，
写成ideal的话，应该是(x-n,n²+1), an ideal generated by 2 elements.

令一方面，Z[x]可以先模去x²+1，得到Z[ i ]，然后再模去一个什么东西，得到Z/(n²+1)。两条路径相等。

Z[ i ]的好处是，它是二维的，希望以某种方式，把x²+1这个非线性的东西，变成二维上的线性。

[TheMatrix]

是。x²+1中的素数，这样的问题不是代数方程就能解决的。肯定要超越代数方程。

L-function就是超越代数方程的。无穷级数也是超越代数方程的。

[TheMatrix]

也就是Z[x]到Z/(n²+1)要模去两个东西：x=n和n²+1，
写成ideal的话，应该是(x-n,n²+1), an ideal generated by 2 elements.

令一方面，Z[x]可以先模去x²+1，得到Z[ i ]，然后再模去一个什么东西，得到Z/(n²+1)。两条路径相等。

也就是说，在Z[x]中，两个ideal相等：
(x-n,n²+1) = (x²+1,x-n)

[TheMatrix]

也就是说，在Z[x]中，两个ideal相等：
(x-n,n²+1) = (x²+1,x-n)

n=8的时候，n²+1=65不是素数。Z/65Z不是integral domain。
另一个方向看，x-8 ~ i-8也不是Z[ i ]中的素数：i-8 = (2+i)(-3+2i)。

所以这个问题变成了：是否有无穷多个n使得i-n为Z[ i ]中的素数。

....Well, of course, this is equivalent to the original problem.

[YWY]

n=8的时候，n²+1=65不是素数。Z/65Z不是integral domain。
另一个方向看，x-8 ~ i-8也不是Z[ i ]中的素数：i-8 = (2+i)(-3+2i)。

所以这个问题变成了：是否有无穷多个n使得i-n为Z[ i ]中的素数。

....Well, of course, this is equivalent to the original problem.

难题啊

https://en.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_problems

Near-square primes

Landau's fourth problem asked whether there are infinitely many primes which are of the form p=n^{2}+1} for integer n. (The list of known primes of this form is A002496.) The existence of infinitely many such primes would follow as a consequence of other number-theoretic conjectures such as the Bunyakovsky conjecture and Bateman–Horn conjecture. As of 2023, this problem is open.