外微分可以统一矢量算符

[Caravel]

0- form f 是函数

df 是gradient

1- form是矢量

df 是 curl

2-form

df divergence

[TheMatrix]

0- form f 是函数

df 是gradient

1- form是矢量

df 是 curl

2-form

df divergence

外微分确实统一了不少东西。抽象度很高。

[Caravel]

外微分确实统一了不少东西。抽象度很高。

外微积分离散化是一个很新说topic

[TheMatrix]

外微积分离散化是一个很新说topic

就是你前面贴的CMU那个教程吧？离散化应用是什么？

[Caravel]

就是你前面贴的CMU那个教程吧？离散化应用是什么？

那个教程系列很长。

很多，比如3d modeling, 有限元法解微分方程

也涉及到上同调

[Caravel]

外微分算符d 把 n form 变成 n + 1 form.

0- form f 是函数 , df = (∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy 是gradient, gradient 是矢量，也是1-form。

1- form是矢量 df₁ 是 curl

2-form， df 是 divergence

[Caravel]

外微分确实统一了不少东西。抽象度很高。

另外一个stokes定理，可以推广

stokes定理就是微积分基本定理。

[TheMatrix]

另外一个stokes定理，可以推广

stokes定理就是微积分基本定理。

嗯。这是高度抽象。应该可以说是人类认识的一个巅峰。

[Caravel]

嗯。这是高度抽象。应该可以说是人类认识的一个巅峰。

为什么这个叫“外”微分？有什么讲究

[TheMatrix]

为什么这个叫“外”微分？有什么讲究

为什么叫exterior differential，还有exterior algebra，还真不知道。

这有个解释听起来是合理的：
According to one of the web search results1, the term “exterior” comes from the geometric property of the exterior product, which is the key operation in the exterior algebra. The exterior product of two vectors is non-zero only if the vectors are geometrically one to the exterior of the other, meaning that they do not lie in the same subspace. For example, if x, y, and z are vectors, then x ∧ y ∧ z = 0 if x lies in the subspace spanned by y and z. The exterior product can be interpreted as the area or volume of the parallelotope formed by the vectors, and it also determines the orientation of the subspace. The exterior algebra is the algebraic system that uses the exterior product to study geometric questions1: https://math.stackexchange.com/question ... -it-exteri

[Caravel]

为什么叫exterior differential，还有exterior algebra，还真不知道。

这有个解释听起来是合理的：
According to one of the web search results1, the term “exterior” comes from the geometric property of the exterior product, which is the key operation in the exterior algebra. The exterior product of two vectors is non-zero only if the vectors are geometrically one to the exterior of the other, meaning that they do not lie in the same subspace. For example, if x, y, and z are vectors, then x ∧ y ∧ z = 0 if x lies in the subspace spanned by y and z. The exterior product can be interpreted as the area or volume of the parallelotope formed by the vectors, and it also determines the orientation of the subspace. The exterior algebra is the algebraic system that uses the exterior product to study geometric questions1: https://math.stackexchange.com/question ... -it-exteri

有道理，外积是向外扩张。

[Amorphous]

为什么叫exterior differential，还有exterior algebra，还真不知道。

这有个解释听起来是合理的：
According to one of the web search results1, the term “exterior” comes from the geometric property of the exterior product, which is the key operation in the exterior algebra. The exterior product of two vectors is non-zero only if the vectors are geometrically one to the exterior of the other, meaning that they do not lie in the same subspace. For example, if x, y, and z are vectors, then x ∧ y ∧ z = 0 if x lies in the subspace spanned by y and z. The exterior product can be interpreted as the area or volume of the parallelotope formed by the vectors, and it also determines the orientation of the subspace. The exterior algebra is the algebraic system that uses the exterior product to study geometric questions1: https://math.stackexchange.com/question ... -it-exteri

我一直以为exterior product 是跟inner product 相对应...

[Amorphous]

另外一个stokes定理，可以推广

stokes定理就是微积分基本定理。

(M,dω) =(∂M,ω)

[Caravel]

(M,dω) =(∂M,ω)

这里面的边界算符是一个拓扑概念吧。

[Amorphous]

外微分确实统一了不少东西。抽象度很高。

麦克斯韦方程:

dF=0
⋆d⋆F=J

[Amorphous]

这里面的边界算符是一个拓扑概念吧。

边界在讨论拓扑时很重要.

[verdelite]

麦克斯韦方程:

dF=0
⋆d⋆F=J

数学家喜欢这样的东西，又统一了啥啥的。

而我对这种高度抽象的东西表示不喜欢。
物理学家喜欢能表达出底层物理思维的数学方程式。
这样才能有物理直觉，才能知道哪儿可以假定是正确的，哪儿需要work了。

[Caravel]

数学家喜欢这样的东西，又统一了啥啥的。

而我对这种高度抽象的东西表示不喜欢。
物理学家喜欢能表达出底层物理思维的数学方程式。
这样才能有物理直觉，才能知道哪儿可以假定是正确的，哪儿需要work了。

数学也有用处，没有麦克斯韦抽象这个方程，发现电磁波就很难

[Amorphous]

数学家喜欢这样的东西，又统一了啥啥的。

而我对这种高度抽象的东西表示不喜欢。
物理学家喜欢能表达出底层物理思维的数学方程式。
这样才能有物理直觉，才能知道哪儿可以假定是正确的，哪儿需要work了。

到流形上，我们熟悉的微积分就太繁琐了。

[pinfish]

就是算符化代数化，exterior algebra应用于对微分算符的分类
泛化一点就是graded algebra
manifold上的differential form构成一个De-Rham algebra