Q(√3)的一个练习题

[TheMatrix]

有一些比较基本的代数数论方面的问题，希望有人指点一下。

首先Q(√3)=Q[√3]，这应该是对的吧？

然后我看到说3 != 1 mod 4，所以Q(√3)的ring of integer是Z[√3]。也就是不需要像√5那样ring of integer是Z[(1+√5)/2]。这个也是对的吧？

我看到wiki说Q(√3)的class number是1。这是对的吧？

而class number等于1，意味着Q(√3)的ring of integer，也就是Z[√3]，是一个PID，principal ideal domain。这是对的吧？

"2"在Z[√3]里是irreducible。这是对的吧？

那么(2)在Z[√3]里应该是一个prime ideal。这是对的吗？

那么Z[√3]/(2)应该是一个integral domain。这个依赖于上一个问题。

Z[√3]/(2)={0,1,√3,1+√3}，有4个元素。这是对的吧？

而(1+√3)(1+√3)=1+3+2√3=4+2√3 =0 mod (2)，那么1+√3是一个zero divisor。这和(2)是prime ideal矛盾啊。哪出错了呢？

[TheMatrix]

有一些比较基本的代数数论方面的问题，希望有人指点一下。

首先Q(√3)=Q[√3]，这应该是对的吧？

然后我看到说3 != 1 mod 4，所以Q(√3)的ring of integer是Z[√3]。也就是不需要像√5那样ring of integer是Z[(1+√5)/2]。这个也是对的吧？

我看到wiki说Q(√3)的class number是1。这是对的吧？

而class number等于1，意味着Q(√3)的ring of integer，也就是Z[√3]，是一个PID，principal ideal domain。这是对的吧？

"2"在Z[√3]里是irreducible。这是对的吧？

那么(2)在Z[√3]里应该是一个prime ideal。这是对的吗？

那么Z[√3]/(2)应该是一个integral domain。这个依赖于上一个问题。

Z[√3]/(2)={0,1,√3,1+√3}，有4个元素。这是对的吧？

而(1+√3)(1+√3)=1+3+2√3=4+2√3 =0 mod (2)，那么1+√3是一个zero divisor。这和(2)是prime ideal矛盾啊。哪出错了呢？

哦。知道了。"2" is NOT irreducible in Z[√3]。
-(1+√3)(1-√3)=2

[FoxMe]

代数数论是数论和代数的结合，数学上非常优美，工程中非常有用。该怎么来形容？