变分题

[FGH]

考虑一个在[0,1]上连续可微的函数f，满足f(0)=0, f(1)=1.
问积分\int_0^1 x f'(x)^2 dx可以任意接近于零吗？
如果不是，下确界是多少，能否实现。

[TheMatrix]

考虑一个在[0,1]上连续可微的函数f，满足f(0)=0, f(1)=1.
问积分\int_0^1 x f'(x)^2 dx可以任意接近于零吗？
如果不是，下确界是多少，能否实现。

我最小只能找到1/2，也就是f(x)=x。

[TheMatrix]

我最小只能找到1/2，也就是f(x)=x。

有更小的：
取点(a,b)=(0.2,0.3)。连接(0,0)到(a,b)，以及(a,b)到(0,1)，作为f(x)的曲线。这个积分为0.465625。小于1/2。

[TheMatrix]

有更小的：
取点(a,b)=(0.2,0.3)。连接(0,0)到(a,b)，以及(a,b)到(0,1)，作为f(x)的曲线。这个积分为0.465625。小于1/2。

(a,b)=(0.2,0.33)更小，=0.463。

这个问题有分教。

[TheMatrix]

考虑一个在[0,1]上连续可微的函数f，满足f(0)=0, f(1)=1.
问积分\int_0^1 x f'(x)^2 dx可以任意接近于零吗？
如果不是，下确界是多少，能否实现。

这个问题定性分析的话，我觉得可以得出这么两条：

1，f(x)为单增函数。因为如果不单增的话，总可以取下降的部分，以平线替代下降的部分。。。
2，f(x)为凸函数(f''<0)。因为以折线逼近曲线的话，把折线按斜率从大到小排列，从左到右安排起来，应该也能连接(0,0)到(1,1)点，而其积分应该更小。这已经是一个凸函数了。

[TheMatrix]

(a,b)=(0.2,0.33)更小，=0.463。

这个问题有分教。

接下来，两端固定，中间取一点以直线连接的话，应该能得出中间一点的取法。

当然这个取法应该和两个端点的位置有关。(0.2,0.33)的比例适用于端点为(0,0)和(1,1)。

能不能弄出一个微分方程来，如果能的话，问题可以说解决了。

[pinfish]

写个变分方程呗
似乎极值解是sqrt{x*c}

接下来，两端固定，中间取一点以直线连接的话，应该能得出中间一点的取法。

当然这个取法应该和两个端点的位置有关。(0.2,0.33)的比例适用于端点为(0,0)和(1,1)。

能不能弄出一个微分方程来，如果能的话，问题可以说解决了。

[TheMatrix]

写个变分方程呗
似乎极值解是sqrt{x*c}

嗯。f(x)=√x is much better.

怎么写变分方程？变分法我没学过。

[pinfish]

\delta \int_0^1 x f'(x)^2 dx = \int_0^1 dx * ( \deltax f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) \deltax) = \int_0^1 dx * \deltax * ( f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x)) =0 -> f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) = 0

嗯。f(x)=√x is much better.

怎么写变分方程？变分法我没学过。

[TheMatrix]

\delta \int_0^1 x f'(x)^2 dx = \int_0^1 dx * ( \deltax f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) \deltax) = \int_0^1 dx * \deltax * ( f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x)) =0 -> f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) = 0

谢谢。

变分看起来跟全微分差不多。我再想想它为什么可以。

[FGH]

对不起，答案是可以趋向于零。看f(x)=x^c。虽然在0点不可微，但可以微调。

[TheMatrix]

对不起，答案是可以趋向于零。看f(x)=x^c。虽然在0点不可微，但可以微调。

确实。

调参数c的方法没有极值，所以变分δ的方法可能用不了。

那用δ方法得到的c=1/2是什么值呢？

[TheMatrix]

对不起，答案是可以趋向于零。看f(x)=x^c。虽然在0点不可微，但可以微调。

我曾试过用折线(0,0)到(c,1)，然后(c,1)到(1,1)。这和f(x)=x^c感觉差不多。但是折线的积分值是1/2，和c无关。

看来折线和弯曲的x^c还是不一样啊。

[FoxMe]

这个方法的出处？感觉和维基百科上的不一样。

https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_ ... e_equation

我算了一下得到2f'(x) + x f''(x) = 0。哪儿不对？

\delta \int_0^1 x f'(x)^2 dx = \int_0^1 dx * ( \deltax f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) \deltax) = \int_0^1 dx * \deltax * ( f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x)) =0 -> f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) = 0

[Amorphous]

这个方法的出处？感觉和维基百科上的不一样。

https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_ ... e_equation

我算了一下得到2f'(x) + x f''(x) = 0。哪儿不对？

我算了一下是这样的

L(x, f, f') = x f'^2

pL/pf = 0

p L/ pf' = 2 x f'

Euler-Lagrange eom:

pL/pf - (d/dx) (p L/ pf' ) = - 2 ( f' + x f'') =0

[FoxMe]

你的推导是对的。( f' + x f'') =0的解是什么？

我算了一下是这样的

L(x, f, f') = x f'^2

pL/pf = 0

p L/ pf' = 2 x f'

Euler-Lagrange eom:

pL/pf - (d/dx) (p L/ pf' ) = - 2 ( f' + x f'') =0

[Amorphous]

你的推导是对的。( f' + x f'') =0的解是什么？

f = a + b log x

楼主那个解貌似可能也可以

[TheMatrix]

f = a + b log x

楼主那个解貌似可能也可以

这个解好像不能做到f(0)=0, f(1)=1吧？

而f(x)=x^c可以做到。

[Amorphous]

这个解好像不能做到f(0)=0, f(1)=1吧？

而f(x)=x^c可以做到。

楼主的解要求c->0 的极限, 比较sick. 大概是这样

b -> 0+: a + b log x = a + log x^b ~ a - 1 + x^b