椭圆曲线的Conductor

[TheMatrix]

这个概念我一直没搞明白。有没有人能介绍一下？

[FoxMe]

同问。数域也有conductor。

[forecasting]

去搜搜吧，没想到简单例子。大约是椭圆曲线约化，如果是坏约化，则以约化曲线所在的素数p的奇点阶次幂(乘性奇点为1，即结点的次幂为1，而加性奇点次幂为2，即尖点的次幂为2)相乘得一值，此值为不变量，即所谓conductor

简单而抽象地说，就是把产生奇点的约化的素数模p依照奇点性质是结点（1）还是尖点（2）乘起来得到的值（也可以乘上好约化的p^0），如此就把所有约化奇点信息收集到一起了（编码到一个数值里面）

[FoxMe]

看了看，不好理解。

数域Q(zeta_n)的conductor=n.

[TheMatrix]

去搜搜吧，没想到简单例子。大约是椭圆曲线约化，如果是坏约化，则以约化曲线所在的素数p的奇点阶次幂相乘得一值，此值为不变量，即所谓conductor

嗯。和reduction有关。

[forecasting]

看了看，不好理解。

数域Q(zeta_n)的conductor=n.

那是跟数域扩张有关的，不知道怎么跟椭圆曲线的约化和奇点联系起来

[TheMatrix]

[TheMatrix]

Discriminant Δ还是好理解的。

我是从分析的角度理解的：一个曲线和自己相交，或者在某一点其切线不唯一，这个条件是可以找出来的，是方程系数的一个关系。这就是Discriminant Δ。这是分析的角度。

代数的角度的话，我觉得就是把分析得来的关系直接用作定义。这就可以扩展到有理数系数上去了。

然后reduction at a prime。

比如Δ=875=5³*7。那么，reduction at p=5的话，相当于Δ=0，因为modulo 5的时候，Δ就是等于0。这可以接受。

但是怎么就bad reduction了呢？

[forecasting]

Discriminant Δ还是好理解的。

我是从分析的角度理解的：一个曲线和自己相交，或者在某一点其切线不唯一，这个条件是可以找出来的，是方程系数的一个关系。这就是Discriminant Δ。这是分析的角度。

代数的角度的话，我觉得就是把分析得来的关系直接用作定义。这就可以扩展到有理数系数上去了。

然后reduction at a prime。

比如Δ=875=5³*7。那么，reduction at p=5的话，相当于Δ=0，因为modulo 5的时候，Δ就是等于0。这可以接受。

但是怎么就bad reduction了呢？

这是哪本书？

就是约化产生奇点的就是坏约化，或者wild reduction。顺便说一句，我要修改一下我第一个post了，含糊容易误解

[TheMatrix]

这是哪本书？

就是约化产生奇点的就是坏约化，或者wild reduction。顺便说一句，我要修改一下我第一个post了，含糊容易误解

是Silverman的GTM那本书。

我主要是对singular point的代数定义没有理解。

[forecasting]

是Silverman的GTM那本书。

我主要是对singular point的代数定义没有理解。

不知道奇点还有代数定义。

[TheMatrix]

不知道奇点还有代数定义。

E/Q的singular point怎么定义的？

[TheMatrix]

E/Q的singular point怎么定义的？

来看看这个椭圆曲线：
y²=x³+x+2
x³+ax+b with a=1,b=2
Δ=4a³+27b²=112=2⁴*7
7是这个曲线的bad reduction。



曲线mod 7有8个解，图上用红点表示：
(0, 3)
(0, 4)
(1, 2)
(1, 5)
(3, 2)
(3, 5)
(4, 0)
(6, 0)

其中哪个点是singular point？

[forecasting]

E/Q的singular point怎么定义的？

素理想在扩张的域中的分歧指数？素理想对应到黎曼面的素点，进而对应到分歧点？由分歧点引出奇点？

我也是才想到应该是这样定义的。

[forecasting]

咋一看，都无比复杂困难，其实都是一些很直观的东西冠上了吓人的名字，主要是定义抽象，不说来龙去脉。

[TheMatrix]

来看看这个椭圆曲线：
y²=x³+x+2
x³+ax+b with a=1,b=2
Δ=4a³+27b²=112=2⁴*7
7是这个曲线的bad reduction。

曲线mod 7有8个解，图上用红点表示：
(0, 3)
(0, 4)
(1, 2)
(1, 5)
(3, 2)
(3, 5)
(4, 0)
(6, 0)

其中哪个点是singular point？

从定义来看，椭圆曲线的singular point就是满足：
f(x,y)=y²-(x³+ax+b)=0
∂f/∂x=∂f/∂y=0
的点。

所以mod 7的8个解中，(4,0)点为singular point。

不过我看不到它的几何/分析意义。

[TheMatrix]

素理想在扩张的域中的分歧指数？素理想对应到黎曼面的素点，进而对应到分歧点？由分歧点引出奇点？

我也是才想到应该是这样定义的。

哦。我说的E/Q就是指椭圆曲线，over Q的。

[TheMatrix]

从定义来看，椭圆曲线的singular point就是满足：
f(x,y)=y²-(x³+ax+b)=0
∂f/∂x=∂f/∂y=0
的点。

所以mod 7的8个解中，(4,0)点为singular point。

不过我看不到它的几何/分析意义。

又理解了一点：

以 y²=x³+ax+b 的形式来看椭圆曲线的话，singular point如果存在，必然在x轴上，也就是y=0。而且是曲线两次通过x轴的点，也就是x³+ax+b的double root。也就是方程能写成 y²=(x-x₀)²(x+x₁)的形式。那么(x₀,0)就是椭圆曲线的singular point。只能有一个singular point，而且x₀必然是实数。x₁也必然是实数，而且还要非负。

平移到使x₀=0的地方，方程变为y²=x²(x+x₁)。可以求出singular point处两条切线的斜率为 ±√x₁。如果x₁不等于0，那么两条切线不同，这样的singular point叫node。如果x₁等于0，那么两条切线重合，这样的singular point叫cusp。

这些条件从纯代数的角度看，也都是可以说得通的。这里只涉及到多项式因式分解，以及formal derivative。所以在有理数域，甚至有限数域的情况下，这些条件都可以说。这应该就成了good/bad reduction，以及bad reduction的node和cusp分类的定义。

[TheMatrix]

y²=x³-3x+2
变为
x³-3x+2-y²=0

看曲面 z=f(x,y)=x³-3x+2-y² 的形状：

z=0就是图中黄蓝交接的曲线。它有一个singular point，在红色圆圈的中心。这个奇点在曲面上是一个马鞍点。



从斜上方看：

[forecasting]

又理解了一点：

以 y²=x³+ax+b 的形式来看椭圆曲线的话，singular point如果存在，必然在x轴上，也就是y=0。而且是曲线两次通过x轴的点，也就是x³+ax+b的double root。也就是方程能写成 y²=(x-x₀)²(x+x₁)的形式。那么(x₀,0)就是椭圆曲线的singular point。只能有一个singular point，而且x₀必然是实数。x₁也必然是实数，而且还要非负。

平移到使x₀=0的地方，方程变为y²=x²(x+x₁)。可以求出singular point处两条切线的斜率为 ±√x₁。如果x₁不等于0，那么两条切线不同，这样的singular point叫node。如果x₁等于0，那么两条切线重合，这样的singular point叫cusp。

这些条件从纯代数的角度看，也都是可以说得通的。这里只涉及到多项式因式分解，以及formal derivative。所以在有理数域，甚至有限数域的情况下，这些条件都可以说。这应该就成了good/bad reduction，以及bad reduction的node和cusp分类的定义。

椭圆曲线的奇点不依赖于坐标选择。引入特定坐标也只因为理解方便，还得小心带进去一些容易误解的东西。