我研究了一下Collatz猜想

[TheMatrix]

Collatz猜想是说：从一个数出发，能除以2就除以2，不能除以2就乘3加1。最后总能回到1。

代码： 全选

def collatz(n,a,b):
    result = [n]
    while len(result) < 200 and n != 1:
        n = n//a if n%a==0 else b*n+1
        result.append(n)
    return result
    
def run():
    result = collatz(47,2,3)
    for item in result: 
        print(item)

run()

我研究了一下，用a替换2，用b替换3。发现这么几个现象：
1，2是必须的。别的a迭代越来越大。
2，3也是必须的。别的b迭代也越来越大。
3，加1也是必须的，加别的迭代也是越来越大。
4，b=ka+1的话，增加的速度能慢一点。b != ka+1的话，增加速度基本上和一直乘以b差不多。

[FoxMe]

赞认真：D

[TheMatrix]

代码： 全选

def collatz(n,a,b):
    result = [n]
    while len(result) < 200 and n != 1:
        n = n//a if n%a==0 else int(b*n)//a*a
        result.append(n)
    return result
    
def run():
    result = collatz(147, 7, 13.37)
    for item in result: 
        print(item)

run()

可以变成一个动力学问题。

[TheMatrix]

可以变成一个动力学问题。

这为什么是动力学呢？

代码： 全选

def collatz(n,a,b):
    result = [n]
    while True:
        if len(result) >= 200:
            return (result, -1)
        #n = n//a if n%a==0 else b*n+2
        n = n//a if n%a==0 else int(b*n)//a*a
        if n in result:
            return (result, n)
        result.append(n)
    
def run():
    result, x = collatz(143, 7, 12.1)
    for item in result: 
        print(item)
    print((len(result), x))

run()

也就是两个数(a,b)，不一定是整数了，它们以一定的方式，作用在一个初始数上，得到一个序列，一个确定的序列。看这个序列会不会重复。

以“一定的方式”是什么意思呢？这里面有任意性，但是它是可描述的，可计算的。

“看序列会不会重复”，有点像无限循环或者不循环小数。

这就是动力学。动力学在物理学中，是指有“力”来决定运动轨迹的，“力”在这里是另一层次的变量，可以叫隐变量。而在数学中，动力学主要指迭代。迭代像一个发动机，发生器。更广义可以指时间演化，时间可以是一个index，一个数而已。

[TheMatrix]

代码： 全选

def collatz(n,a,b):
    result = [n]
    while True:
        if len(result) >= 200:
            return (result, -1)
        #n = n//a if n%a==0 else b*n+2
        n = n//a if n%a==0 else int(b*n)//a*a
        if n in result:
            return (result, n)
        result.append(n)
    
def run():
    result, x = collatz(143, 7, 12.1)
    for item in result: 
        print(item)
    print((len(result), x))

run()

看来要出现混沌与分形啊。

定义：初始数 n=37, a=2, 对于大于等于3的实数b, 定义一个整数值的函数 f(b)，为如下迭代的数列的循环项的长度（如果不循环则为无穷）：

n = n//a if n%a==0 else int(b*n)//a*a

[TheMatrix]

可以变成一个动力学问题。

Quote Bing Copilot:

Proving boundedness for all Collatz sequences remains an open problem.

这应该主要是一个动力学问题。

[TheMatrix]

Quote Bing Copilot:
Proving boundedness for all Collatz sequences remains an open problem.
这应该主要是一个动力学问题。

bounded则一定循环，因为一个整数sequence bounded的话，它只有有限个数，所以sequence一定循环。反之循环也一定bounded。

Collatz猜想是说这些sequence不但循环（bounded），而且循环到 "4 -> 2 -> 1"的轨迹。证明bounded应该是第一步。

[TheMatrix]

bounded则一定循环，因为一个整数sequence bounded的话，它只有有限个数，所以sequence一定循环。反之循环也一定bounded。

Collatz猜想是说这些sequence不但循环（bounded），而且循环到 "4 -> 2 -> 1"的轨迹。证明bounded应该是第一步。

稍微试一下就能得到一个印象：不仅3x+1会循环，3x+3, 3x+5,...都会循环。也就是这里面重要的是3x。

3x再加上一个数（necessarily奇数），使它成为一个偶数，然后再挤出2的因子 - 不是除以2，是挤出2的因子 - 可以除以2多次。这样上一次，再下至少一次，上上下下，最后会循环。

5x+1就不行了。因为上的幅度太大，下一次不够，下两次也不够，最后就越来越大，不能循环了。

[TheMatrix]

稍微试一下就能得到一个印象：不仅3x+1会循环，3x+3, 3x+5,...都会循环。也就是这里面重要的是3x。

3x再加上一个数（necessarily奇数），使它成为一个偶数，然后再挤出2的因子 - 不是除以2，是挤出2的因子 - 可以除以2多次。这样上一次，再下至少一次，上上下下，最后会循环。

5x+1就不行了。因为上的幅度太大，下一次不够，下两次也不够，最后就越来越大，不能循环了。

如果把一个数看成是一个起始点，把迭代看成是一个时间演化的推进器，得到的sequence是一个轨迹，循环的话就叫一个orbit。研究orbit的形态与分类，就是数学中的动力学（dynamics）。

数学中的动力学应该属于一种分析的方法。但是比分析更专门一些：因为它研究迭代发生的细节。比如非线性动力学，迭代由一个非线性函数发生，比如x²，这么一个innocent的函数，它就是非线性。迭代一下，完了，混沌了。

“挤出2的因子”，听起来还是innocent，但是它实际上highly highly nonlinear。这已经不是分析中的，可以由微分方程刻画的非线性了。这是代数非线性，有点类似于一种折叠。分析上的非线性至少是光滑的，这个是折叠，还带棱角的。所以就难了。

[TheMatrix]

如果把一个数看成是一个起始点，把迭代看成是一个时间演化的推进器，得到的sequence是一个轨迹，循环的话就叫一个orbit。研究orbit的形态与分类，就是数学中的动力学（dynamics）。

数学中的动力学应该属于一种分析的方法。但是比分析更专门一些：因为它研究迭代发生的细节。比如非线性动力学，迭代由一个非线性函数发生，比如x²，这么一个innocent的函数，它就是非线性。迭代一下，完了，混沌了。

“挤出2的因子”，听起来还是innocent，但是它实际上highly highly nonlinear。这已经不是分析中的，可以由微分方程刻画的非线性了。这是代数非线性，有点类似于一种折叠。分析上的非线性至少是光滑的，这个是折叠，还带棱角的。所以就难了。

动力学研究的都是非线性。线性的是trivial，不需要研究。

动力学是看一步迭代的细节，看一步迭代在多大程度上能对长程轨迹有所限制。能得到的任意一个限制，都是对长程的贡献。比如最后的orbit的集合，如果能说其中某一种orbit不可能出现，这就是贡献。

“挤出2的因子”这个操作，在编程上是个if-else操作，没有解析表达式。这是最难的。每次乘以3再加1之后，平均能除以几个2？