近二十年的新进展它也都知道。问它问题，回答的有鼻子有眼的。
你们拿本专业问题考一考它。
我发现GPT学术问题也懂
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#13 Re: 我发现GPT学术问题也懂
chatgpt不擅长你懂的事情。
个位数四则运算？都知道它不擅长，因为大家都懂。
推导一下Black–Scholes model？如果你不懂bs model，看到它的推导，有板有眼，感觉它挺厉害。这推导我熟，很明显它不知道它在说什么。
这也是为什么很多用户觉得它会量子力学，因为用户自己不懂。
coding是例外，毕竟这是gpt作者的本行。
除coding外，chatgpt擅长闲聊天，写诗，画画。
个位数四则运算？都知道它不擅长，因为大家都懂。
推导一下Black–Scholes model？如果你不懂bs model，看到它的推导，有板有眼，感觉它挺厉害。这推导我熟，很明显它不知道它在说什么。
这也是为什么很多用户觉得它会量子力学，因为用户自己不懂。
coding是例外，毕竟这是gpt作者的本行。
除coding外，chatgpt擅长闲聊天，写诗，画画。
#16 Re: 我发现GPT学术问题也懂
下面这个推理哪一步不对？justChat 写了： 2024年 5月 24日 12:08 chatgpt不擅长你懂的事情。
个位数四则运算？都知道它不擅长，因为大家都懂。
推导一下Black–Scholes model？如果你不懂bs model，看到它的推导，有板有眼，感觉它挺厉害。这推导我熟，很明显它不知道它在说什么。
这也是为什么很多用户觉得它会量子力学，因为用户自己不懂。
coding是例外，毕竟这是gpt作者的本行。
除coding外，chatgpt擅长闲聊天，写诗，画画。
Black–Scholes模型是金融数学中一个重要的模型，用于定价期权和其他衍生品。推导这个模型涉及到随机微积分、偏微分方程等数学工具。以下是Black–Scholes模型推导的一个简化版本：
### 前提条件
1. **资产价格运动假设**：
假设股票价格 \( S(t) \) 服从几何布朗运动，公式为：
\[
dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t)
\]
其中：
- \( \mu \) 是股票的预期收益率。
- \( \sigma \) 是股票的波动率。
- \( W(t) \) 是一个标准布朗运动。
2. **无风险资产**：
假设存在一个无风险资产，回报率为 \( r \)，那么其演化公式为：
\[
dB(t) = r B(t) dt
\]
其中 \( B(t) \) 是无风险资产的价值。
### 期权定价公式推导
设 \( V(S,t) \) 为期权的价值，它是股票价格 \( S \) 和时间 \( t \) 的函数。根据伊藤引理（Ito's Lemma），我们可以得到 \( V \) 的微分形式：
\[
dV = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS^2
\]
由于 \( dS \) 和 \( dS^2 \) 分别为：
\[
dS = \mu S dt + \sigma S dW
\]
\[
dS^2 = \sigma^2 S^2 dt
\]
我们将它们代入伊藤引理的公式中，得到：
\[
dV = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} (\mu S dt + \sigma S dW) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 dt
\]
整理后：
\[
dV = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW
\]
### 构造无风险组合
构造一个组合，由一个期权和 \( \Delta \) 股股票组成，组合的价值为：
\[
\Pi = V - \Delta S
\]
组合的变化率为：
\[
d\Pi = dV - \Delta dS
\]
将 \( dV \) 和 \( dS \) 代入，得到：
\[
d\Pi = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \left( \frac{\partial V}{\partial S} - \Delta \right) dS
\]
为了使组合无风险，我们选择 \( \Delta = \frac{\partial V}{\partial S} \)，因此：
\[
d\Pi = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt
\]
根据无风险套利原则，组合的回报率应该等于无风险利率 \( r \)，即：
\[
d\Pi = r \Pi dt
\]
将 \( \Pi = V - \frac{\partial V}{\partial S} S \) 代入，得到：
\[
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = r \left( V - S \frac{\partial V}{\partial S} \right)
\]
整理得到Black-Scholes偏微分方程：
\[
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0
\]
### 具体解法
对于欧式看涨期权，边界条件为：
\[
V(S,T) = \max(S_T - K, 0)
\]
通过求解这个偏微分方程，得到Black-Scholes期权定价公式：
\[
C(S,t) = S_0 \Phi(d_1) - K e^{-r(T-t)} \Phi(d_2)
\]
其中：
\[
d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}
\]
\[
d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t}
\]
\(\Phi\) 是标准正态分布的累积分布函数。
以上是Black-Scholes模型的基本推导过程。如果有更多问题或需要更详细的解释，请告诉我。
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Caravel
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