abc conjecture

[TheMatrix]

就是量化表达一个现象。不是很容易量化，但是这个现象却是很明显，很容易表达。

假设有三个正整数，满足a+b=c，那么“一般来说”，有c < Rad(abc)。或者说，c > Rad(abc)的情况是“特例”。

Rad是Radical的缩写，中文翻译成“根式”。也就是分解质因数之后，把质因数的multiplicity去掉之后的数。比如x=4320=5*3³*2⁵，那么Rad(x)=5*3*2=30。

试验几个例子：

a=5,b=27,c=a+b=32
abc=5*27*32=5*3³*2⁵
Rad(abc)=5*3*2=30
Rad(abc) < c
这是特例。为什么是特例呢？因为随便变一个数：

a=5,b=28,c=a+b=33
abc=5*4*7*3*11
Rad(abc)=5*2*7*3*11
clearly, Rad(abc) > c

再变一个：
a=6,b=28,c=a+b=34
abc=2*3*4*7*2*17
Rad(abc)=2*3*7*17
还是clearly，Rad(abc) > c。

[TheMatrix]

就是量化表达一个现象。不是很容易量化，但是这个现象却是很明显，很容易表达。

假设有三个正整数，满足a+b=c，那么“一般来说”，有c < Rad(abc)。或者说，c > Rad(abc)的情况是“特例”。

这个现象非常容易让人相信。因为把a分解质因数，把b分解质因数，那么Rad(ab)就等于把a和b两个数的质因数乘到一起，这应该很大了，大于a+b也就是c，应该已经是很正常的事了，更别说Rad(abc) > c了。

“特例”在于几种情况：
a分解质因数会不会有很大的multiplicity，比如a=2⁸*3=768，那么Rad(a)=2*3=6一下子变得很小。
b也是一样。

这里就涉及一个“整数的本质”：“随便”找一个数，multiplicity能很大吗？直觉上看是不能。

[TheMatrix]

这个现象非常容易让人相信。因为把a分解质因数，把b分解质因数，那么Rad(ab)就等于把a和b两个数的质因数乘到一起，这应该很大了，大于a+b也就是c，应该已经是很正常的事了，更别说Rad(abc) > c了。

“特例”在于几种情况：
a分解质因数会不会有很大的multiplicity，比如a=2⁸*3=768，那么Rad(a)=2*3=6一下子变得很小。
b也是一样。

这里就涉及一个“整数的本质”：“随便”找一个数，multiplicity能很大吗？直觉上看是不能。

写到这里，似乎已经可以提炼出一个ab conjecture了。。。但是，似乎可以有系统性的方法欺骗这个想要量化表达的conjecture。所以再加上一个c=a+b。变成Rad(abc)>a+b。

这里又涉及到一个“整数的本质”：加法对乘法是完全的“出其不意”。

我解释一下：
乘法对加法有分配律。分配律本质上是“线性”。c*(a+b)=c*a+c*b。这就是线性 - 线性代数中的线性。

而反过来，加法对乘法没有线性，c+(a*b) ?= (c+a)*(c+b)。

也可以这么看：把素数看成是整数乘法空间的一组基（basis）。分解质因数就是整数的基表示 - 几个2，几个3，几个7，这样的表示。那么加法作用在这个空间，不是线性的，而且是far from that。

再翻译回质因数的语言就是：(a+b)的质因数和a或b的质因数相比较，几乎没有任何规律 - 完全的“出其不意”。

[TheMatrix]

a=2^m, b=3ⁿ
这种情况差不多是最容易产生Rad(abc)<c的情况了。因为a和b质因数multiplicity比较大，它们的Radical又很小，等于2*3=6。只要c中有multiplicity，而且multiplicity的质因数大于等于7就行了。

还不少。下面是m,n<30的以上特例的列表：

(m,n)=(1, 5), c={5: 1, 7: 2}
(m,n)=(9, 3), c={7: 2, 11: 1}
(m,n)=(11, 2), c={11: 2, 17: 1}
(m,n)=(6, 9), c={7: 2, 13: 1, 31: 1}
(m,n)=(14, 2), c={13: 2, 97: 1}
(m,n)=(1, 16), c={19: 2, 119243: 1}
(m,n)=(7, 10), c={17: 1, 59: 2}
(m,n)=(10, 7), c={13: 2, 19: 1}
(m,n)=(3, 15), c={5: 1, 7: 2, 58567: 1}
(m,n)=(6, 12), c={5: 1, 13: 2, 17: 1, 37: 1}
(m,n)=(11, 7), c={5: 1, 7: 1, 11: 2}
(m,n)=(17, 1), c={5: 2, 7: 2, 107: 1}
(m,n)=(2, 17), c={13: 2, 764143: 1}
(m,n)=(14, 7), c={7: 2, 379: 1}
(m,n)=(11, 12), c={11: 2, 4409: 1}
(m,n)=(11, 13), c={7: 2, 32579: 1}
(m,n)=(8, 19), c={7: 2, 37: 1, 643: 1, 997: 1}
(m,n)=(22, 5), c={7: 4, 1747: 1}
(m,n)=(25, 2), c={41: 2, 19961: 1}
(m,n)=(11, 17), c={11: 2, 97: 1, 11003: 1}

[TheMatrix]

a=2^m, b=3ⁿ
这种情况差不多是最容易产生Rad(abc)<c的情况了。因为a和b质因数multiplicity比较大，它们的Radical又很小，等于2*3=6。只要c中有multiplicity，而且multiplicity的质因数大于等于7就行了。

还不少。下面是m,n<30的以上特例的列表：

(m,n)=(1, 5), c={5: 1, 7: 2}
(m,n)=(9, 3), c={7: 2, 11: 1}
(m,n)=(11, 2), c={11: 2, 17: 1}
(m,n)=(6, 9), c={7: 2, 13: 1, 31: 1}
(m,n)=(14, 2), c={13: 2, 97: 1}
(m,n)=(1, 16), c={19: 2, 119243: 1}
(m,n)=(7, 10), c={17: 1, 59: 2}
(m,n)=(10, 7), c={13: 2, 19: 1}
(m,n)=(3, 15), c={5: 1, 7: 2, 58567: 1}
(m,n)=(6, 12), c={5: 1, 13: 2, 17: 1, 37: 1}
(m,n)=(11, 7), c={5: 1, 7: 1, 11: 2}
(m,n)=(17, 1), c={5: 2, 7: 2, 107: 1}
(m,n)=(2, 17), c={13: 2, 764143: 1}
(m,n)=(14, 7), c={7: 2, 379: 1}
(m,n)=(11, 12), c={11: 2, 4409: 1}
(m,n)=(11, 13), c={7: 2, 32579: 1}
(m,n)=(8, 19), c={7: 2, 37: 1, 643: 1, 997: 1}
(m,n)=(22, 5), c={7: 4, 1747: 1}
(m,n)=(25, 2), c={41: 2, 19961: 1}
(m,n)=(11, 17), c={11: 2, 97: 1, 11003: 1}

漏了一些情况：

case 1: (m,n)=(1, 5), c={5: 1, 7: 2}
case 1: (m,n)=(9, 3), c={7: 2, 11: 1}
case 1: (m,n)=(11, 2), c={11: 2, 17: 1}
case 2: (m,n)=(6, 8), c={5: 3, 53: 1}
case 1: (m,n)=(6, 9), c={7: 2, 13: 1, 31: 1}
case 1: (m,n)=(14, 2), c={13: 2, 97: 1}
case 1: (m,n)=(1, 16), c={19: 2, 119243: 1}
case 1: (m,n)=(7, 10), c={17: 1, 59: 2}
case 1: (m,n)=(10, 7), c={13: 2, 19: 1}
case 1: (m,n)=(3, 15), c={5: 1, 7: 2, 58567: 1}
case 1: (m,n)=(6, 12), c={5: 1, 13: 2, 17: 1, 37: 1}
case 1: (m,n)=(11, 7), c={5: 1, 7: 1, 11: 2}
case 1: (m,n)=(17, 1), c={5: 2, 7: 2, 107: 1}
case 1: (m,n)=(2, 17), c={13: 2, 764143: 1}
case 1: (m,n)=(14, 7), c={7: 2, 379: 1}
case 2: (m,n)=(13, 9), c={5: 3, 223: 1}
case 1: (m,n)=(11, 12), c={11: 2, 4409: 1}
case 1: (m,n)=(11, 13), c={7: 2, 32579: 1}
case 2: (m,n)=(4, 22), c={5: 3, 13781: 1, 18217: 1}
case 1: (m,n)=(8, 19), c={7: 2, 37: 1, 643: 1, 997: 1}
case 1: (m,n)=(22, 5), c={7: 4, 1747: 1}
case 1: (m,n)=(25, 2), c={41: 2, 19961: 1}
case 1: (m,n)=(11, 17), c={11: 2, 97: 1, 11003: 1}

[Caravel]

漏了一些情况：

case 1: (m,n)=(1, 5), c={5: 1, 7: 2}
case 1: (m,n)=(9, 3), c={7: 2, 11: 1}
case 1: (m,n)=(11, 2), c={11: 2, 17: 1}
case 2: (m,n)=(6, 8), c={5: 3, 53: 1}
case 1: (m,n)=(6, 9), c={7: 2, 13: 1, 31: 1}
case 1: (m,n)=(14, 2), c={13: 2, 97: 1}
case 1: (m,n)=(1, 16), c={19: 2, 119243: 1}
case 1: (m,n)=(7, 10), c={17: 1, 59: 2}
case 1: (m,n)=(10, 7), c={13: 2, 19: 1}
case 1: (m,n)=(3, 15), c={5: 1, 7: 2, 58567: 1}
case 1: (m,n)=(6, 12), c={5: 1, 13: 2, 17: 1, 37: 1}
case 1: (m,n)=(11, 7), c={5: 1, 7: 1, 11: 2}
case 1: (m,n)=(17, 1), c={5: 2, 7: 2, 107: 1}
case 1: (m,n)=(2, 17), c={13: 2, 764143: 1}
case 1: (m,n)=(14, 7), c={7: 2, 379: 1}
case 2: (m,n)=(13, 9), c={5: 3, 223: 1}
case 1: (m,n)=(11, 12), c={11: 2, 4409: 1}
case 1: (m,n)=(11, 13), c={7: 2, 32579: 1}
case 2: (m,n)=(4, 22), c={5: 3, 13781: 1, 18217: 1}
case 1: (m,n)=(8, 19), c={7: 2, 37: 1, 643: 1, 997: 1}
case 1: (m,n)=(22, 5), c={7: 4, 1747: 1}
case 1: (m,n)=(25, 2), c={41: 2, 19961: 1}
case 1: (m,n)=(11, 17), c={11: 2, 97: 1, 11003: 1}

这么多例外，为啥还叫定理？

[TheMatrix]

这么多例外，为啥还叫定理？

因为它是这么表达的：



有个系数ε.

[FoxMe]

除了望月新一号称证明了ABC猜想之外，目前最好的结果是Stewart和于坤瑞的：

Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (1991). "On the abc conjecture". Mathematische Annalen. 291 (1): 225–230. doi:10.1007/BF01445201. S2CID 123894587.
Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (2001). "On the abc conjecture, II". Duke Mathematical Journal. 108 (1): 169–181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6.

他们只证明了类似c < exp(rad(abc))这种指数界，离猜想相差很远。

[TheMatrix]

除了望月新一号称证明了ABC猜想之外，目前最好的结果是Stewart和于坤瑞的：

Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (1991). "On the abc conjecture". Mathematische Annalen. 291 (1): 225–230. doi:10.1007/BF01445201. S2CID 123894587.
Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (2001). "On the abc conjecture, II". Duke Mathematical Journal. 108 (1): 169–181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6.

他们只证明了类似c < exp(rad(abc))这种指数界，离猜想相差很远。

搜了一下。看到这样一个文章：

[Caravel]

搜了一下。看到这样一个文章：

望月的证明到底对不对？

[TheMatrix]

望月的证明到底对不对？

谁也不知道。据说德国的舒尔茨看了说不对。

[Caravel]

谁也不知道。据说德国的舒尔茨看了说不对。

现在数学一个领域就是那么几个专家看的懂，据说Hamilton认为Pereman的庞加莱猜想不对，还在自己弄。老一点的专家比如老邱连仔细看一遍论文的力气都没有了。

[TheMatrix]

现在数学一个领域就是那么几个专家看的懂，据说Hamilton认为Pereman的庞加莱猜想不对，还在自己弄。老一点的专家比如老邱连仔细看一遍论文的力气都没有了。

陶哲轩在搞的机器证明可能会有帮助。陶哲轩搞的实际上是帮人把证明写出来的那种机器证明。

还有就是，真正重要的证明，或者方法，一定会被很多人掰开了揉碎了仔细讲。费马大定理的证明差不多是这种情况了。

[TheMatrix]

我解释一下：
乘法对加法有分配律。分配律本质上是“线性”。c*(a+b)=c*a+c*b。这就是线性 - 线性代数中的线性。

而反过来，加法对乘法没有线性，c+(a*b) ?= (c+a)*(c+b)。

也可以这么看：把素数看成是整数乘法空间的一组基（basis）。分解质因数就是整数的基表示 - 几个2，几个3，几个7，这样的表示。那么加法作用在这个空间，不是线性的，而且是far from that。

线性就是respect结构。

f(a+b) = f(a) + f(b)

{a,b} ---f---> {f(a),f(b)}

在左边加，和在右边加，结果是一样的 - 这就是respect加法结构。

所以乘法respect加法结构，而加法不respect乘法结构。

[TheMatrix]

线性就是respect结构。

f(a+b) = f(a) + f(b)

{a,b} ---f---> {f(a),f(b)}

在左边加，和在右边加，结果是一样的 - 这就是respect加法结构。

所以乘法respect加法结构，而加法不respect乘法结构。

所以以前有人问过一个问题 - 我自己也问过这个问题 - 有没有三层二元运算的代数结构，一层对下一层有分配律。

可以这么考虑。起始于一个ring R，自带两层结构，加法和乘法，乘法对加法有分配律。

再考虑ring homomorphism集合 Hom(R) = {f: R --> R}。

f(ab) = f(a)f(b)
a(b+c)=ab+ac

这就是两层分配律了。

所以问题就在于构造一个 Hom(R) --> R的映射了。

有点幂集映射回集合的意思了。

[FoxMe]

我觉得可以先搞证明核对，这样就可以判断望月新一的证明到底对不对。

陶哲轩在搞的机器证明可能会有帮助。陶哲轩搞的实际上是帮人把证明写出来的那种机器证明。

还有就是，真正重要的证明，或者方法，一定会被很多人掰开了揉碎了仔细讲。费马大定理的证明差不多是这种情况了。

[TheMatrix]

我觉得可以先搞证明核对，这样就可以判断望月新一的证明到底对不对。

陶哲轩搞的那个本质上是“证明书写”。基本上是已经证明出来的问题，计算机辅助规范书写出来。

证明核对要难搞多了 - 证明者他不配合啊。