（转载）阿里巴巴决赛试题

[TheMatrix]

这是个漏洞，我考虑过，觉得如果(...)=0，那么那一项就没了，但是忽略了X**3 + Y*(...)中的(...)。但是只要找出任一cos项(...)不等于0就够了。

也就是说，对于p=7这个例子，

X**3 + Y*(...)
+ Y*(...)*cos(pi/7)
+ Y*(...)*cos(2*pi/7)
= 49

我的漏洞只有当Y*(...)*cos(pi/7)，Y*(...)*cos(2*pi/7)中的(...)都=0, 并且X**3 + Y*(...)中的(...)不为0的时候才出现。

嗯。肯定是可以补齐的。

我在考虑{1,cos(pi/7),cos(2*pi/7)}作为分圆域real subfield的基的问题，感觉好像不太方便啊。比如cos(3*pi/7)在这个基中怎么表示出来？我考虑整个分圆域，用{1,e^{i pi/7},e^{i 2pi/7}...}为基来表示，好像容易得多。

[FoxMe]

对，是没有整个分圆域方便。

傻了，左边 = Norm(X - 2cos(2*pi/p)*Y)，肯定是个整数，所以除了第一项，其它项一定为0。real subfield的integral basis是{1,2cos(pi/7),2cos(2*pi/7)}.

嗯。肯定是可以补齐的。

我在考虑{1,cos(pi/7),cos(2*pi/7)}作为分圆域real subfield的基的问题，感觉好像不太方便啊。比如cos(3*pi/7)在这个基中怎么表示出来？我考虑整个分圆域，用{1,e^{i pi/7},e^{i 2pi/7}...}为基来表示，好像容易得多。

[FoxMe]

应该是对的，k = 1, ..., (p-1)/2.

x^(p-1)+...+x+1 = (x^p - 1)/(x-1) = (x-zeta)(x-zeta^2)...(x-zeta^(p-1)), zeta = exp(2*pi*i/p)
令x=1,
p = (1-zeta)(1-zeta^2)...(1-zeta^(p-1))
然后合并得(1-zeta)(1-zeta^(p-1)) = 2 - 2cos(2*pi/p)，
(1-zeta^2)(1-zeta^(p-2)) = 2 - 2cos(2*pi*2/p)等等

但是你说p = prod(2 - 2cos(2*pi*k/p))。这个成立吗？我试了一下p=7，好像不对。

[TheMatrix]

应该是对的，k = 1, ..., (p-1)/2.

x^(p-1)+...+x+1 = (x^p - 1)/(x-1) = (x-zeta)(x-zeta^2)...(x-zeta^(p-1)), zeta = exp(2*pi*i/p)
令x=1,
p = (1-zeta)(1-zeta^2)...(1-zeta^(p-1))
然后合并得(1-zeta)(1-zeta^(p-1)) = 2 - 2cos(2*pi/p)，
(1-zeta^2)(1-zeta^(p-2)) = 2 - 2cos(2*pi*2/p)等等

嗯。你的计算是对的。

我有检查了一下我的计算。python sympy没有给我simplify：
8*(1 - cos(2*pi/7))*(sin(pi/14) + 1)*(cos(pi/7) + 1)

numpy 算一下，确实等于7.

[TheMatrix]

对，是没有整个分圆域方便。

傻了，左边 = Norm(X - 2cos(2*pi/p)*Y)，肯定是个整数，所以除了第一项，其它项一定为0。real subfield的integral basis是{1,2cos(pi/7),2cos(2*pi/7)}.

左边 = Norm(X - 2cos(2*pi/p)*Y)？
norm是个整数，其他项一定为0，但是第一项还是有X和Y，它不能等于p²还是需要证明吧？能直接说明Y=0吗？

[TheMatrix]

调整参数c和调整a(1)是一样的，因为a(x)=x/(1+cx)，a(1)=1/(1+c)，c=(1/a(1))-1。

很显然如果某a(1) ∈ (0,1) 使得蓝色曲线完全在红色曲线上方，那么取大一点的a(1)更加有蓝色曲线在红色曲线上方。所以使蓝色曲线完全在红色曲线上方的a(1)的集合，有下界。问题：这个集合有没有下确界？（等同于问相应的c集合有没有上确界）。也就是问集合在下界方向上是开集还是闭集。

曲线族写成 1/a(x) - 1/x = 1/c的形式可能更好。
然后证明 1/a_n - 1/n >= 1/(2c)。这个2应该可以替换成 a₂，比2小一点，用2也行。

但是我还是没有证出来。