李代数

[TheMatrix]

李代数从李群中来。李群是一个群同时也是一个manifold。是manifold就有tangent space。李代数是李群在单位元点的tagent space。这个tangent space不仅有vector space结构，还可以定义乘法。

这个乘法是从李群中导出的。李群一般是非交换群。也就是gh != hg，非交换的程度可以用一个commutator度量，也就是ghg^-1h^-1，相当于gh/(hg)。李群上的commutator线性化映射到李代数上，相当于变成了减法 dg dh - dh dg。也就是两个tangent vector dg 和 dh，组到一起，dg . dh = dg dh - dh dg，这就是李代数上的乘法，记为 [dg,dh]。

这都是不严格的记法。是一种形象化的记忆方法。这个应该是可以严格化的。但是挺费脑筋的。

从这个不严格的记法里看，显然有[dg,dh]=-[dh,dg]，也有雅可比规则，[df,[dg,dh]]=[[df,dg],dh]+[dg,[df,dh]]。所以李代数的乘法既是非交换的，也不满足结合律。但是规则性还是很强的。

雅可比规则可以直接从[dg,dh]=dg dh - dh dg中推出。也和求导中的product rule有关。到底哪一个更本质我也没想好。

这些就是李代数的全部定义性质。所以也可以直接代数定义：

李代数就是一个vector space L，其上有一个乘法，记为 [a,b]，要求满足：
[a,b]=-[b,a]
[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]

[FoxMe]

[a,b]=-[b,a]说明交换律不成立，但是anti-commutativity成立；
[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]说明结合律不成立，但是Jacobi identity成立。

还有哪些乘法满足Jacobi identity？它们的共性是什么？有啥用处？

李代数从李群中来。李群是manifold同时也是一个群。是manifold就有tangent space。李代数是李群在单位元点的tagent space。这个tangent space不仅有vector space结构，还可以定义乘法。

这个乘法是从李群中导出的。李群一般是非交换群。也就是gh != hg，非交换的程度可以用一个commutator度量，也就是ghg^-1h^-1，相当于gh/(hg)。李群上的commutator线性化映射到李代数上，相当于变成了减法 dg dh - dh dg。也就是两个tangent vector dg 和 dh，组到一起，dg . dh = dg dh - dh dg，这就是李代数上的乘法，记为 [dg,dh]。

这都是不严格的记法。是一种形象化的记忆方法。这个应该是可以严格化的。但是挺费脑筋的。

从这个不严格的记法里看，显然有[dg,dh]=-[dh,dg]，也有雅可比规则，[df,[dg,dh]]=[[df,dg],dh]+[dg,[df,dh]]。所以李代数的乘法既是非交换的，也不满足结合律。但是规则性还是很强的。

雅可比规则可以直接从[dg,dh]=dg dh - dh dg中推出。也和求导中的product rule有关。到底哪一个更本质我也没想好。

这些就是李代数的全部定义性质。所以也可以直接代数定义：

李代数就是一个vector space L，其上有一个乘法，记为 [a,b]，要求满足：
[a,b]=-[b,a]
[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]

[TheMatrix]

李代数从李群中来。李群是manifold同时也是一个群。是manifold就有tangent space。李代数是李群在单位元点的tagent space。这个tangent space不仅有vector space结构，还可以定义乘法。

这个乘法是从李群中导出的。李群一般是非交换群。也就是gh != hg，非交换的程度可以用一个commutator度量，也就是ghg^-1h^-1，相当于gh/(hg)。李群上的commutator线性化映射到李代数上，相当于变成了减法 dg dh - dh dg。也就是两个tangent vector dg 和 dh，组到一起，dg . dh = dg dh - dh dg，这就是李代数上的乘法，记为 [dg,dh]。

这都是不严格的记法。是一种形象化的记忆方法。这个应该是可以严格化的。但是挺费脑筋的。

从这个不严格的记法里看，显然有[dg,dh]=-[dh,dg]，也有雅可比规则，[df,[dg,dh]]=[[df,dg],dh]+[dg,[df,dh]]。所以李代数的乘法既是非交换的，也不满足结合律。但是规则性还是很强的。

雅可比规则可以直接从[dg,dh]=dg dh - dh dg中推出。也和求导中的product rule有关。到底哪一个更本质我也没想好。

这些就是李代数的全部定义性质。所以也可以直接代数定义：

李代数就是一个vector space L，其上有一个乘法，记为 [a,b]，要求满足：
[a,b]=-[b,a]
[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]

有了结构就要定义homomorphism，也就是保持结构的映射。

假设有两个李代数 L 和 M。有一个函数 f: L --> M。保持结构的话，就要求
1，f 是线性变换 - 保持李代数的线性结构。
2，f([a,b])=[f(a),f(b)] - 保持李代数的乘法结构。

这样，f 就是李代数homomorphism。

有了homomorphism就有kernel，也就是 {a∈L: f(a)=0}，这是L的一个子集，子空间，子代数，比这些还稍微多一点。有乘法的结构的homomorphism的kernel一般叫ideal，比如环的ideal。

{0}和集合本身是trivial ideal。没有nontrivial ideal的李代数叫 simple 李代数。和单群的定义一样 - 没有能作为kernel的子群的群，叫单群。

由 simple 李代数做direct sum得到的李代数，叫 semisimple 李代数。

还有其他的李代数吗？有。还有 solvable 李代数。以及有 solvable 成分的李代数。

[TheMatrix]

[a,b]=-[b,a]说明交换律不成立，但是anti-commutativity成立；
[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]说明结合律不成立，但是Jacobi identity成立。

还有哪些乘法满足Jacobi identity？它们的共性是什么？有啥用处？

End(V) 或 matrix 的 symmetric difference乘法，满足雅可比关系：
[A,B]=AB-BA，那么 [A,[B,C]]=[[A,B],C]+[B,[A,C]]

derivation和雅可比关系形似：d(f.g) = df.g+f.dg。
如果d和f和g在同一个空间里的话，就成了雅可比关系。

所以雅可比关系应该和两个东西有关系：
1, symmetric difference
2, derivation

[TheMatrix]

有了结构就要定义homomorphism，也就是保持结构的映射。

假设有两个李代数 L 和 M。有一个函数 f: L --> M。保持结构的话，就要求
1，f 是线性变换 - 保持李代数的线性结构。
2，f([a,b])=[f(a),f(b)] - 保持李代数的乘法结构。

这样，f 就是李代数homomorphism。

有了homomorphism就有kernel，也就是 {a∈L: f(a)=0}，这是L的一个子集，子空间，子代数，比这些还稍微多一点。有乘法的结构的homomorphism的kernel一般叫ideal，比如环的ideal。

{0}和集合本身是trivial ideal，没有nontrivial ideal的李代数叫 simple 李代数。和单群的定义一样 - 没有能作为kernel的子群的群，叫单群。

由 simple 李代数做direct sum得到的李代数，叫 semisimple 李代数。

还有其他的李代数吗？有。还有 solvable 李代数。以及有 solvable 成分的李代数。

direct sum在任何结构中都存在。假设A和B是一个结构中的两个物体，A⊕B就是A和B完全独立，各自变化。

solvable 李代数是
L⁽⁰⁾ = L
L⁽¹⁾ = [L,L] := {[a,b] for all a,b∈L}
L⁽²⁾ = [L⁽¹⁾,L⁽¹⁾]
...
eventually, L⁽ⁿ⁾={0}。

这是一个tower of ideal，一个套一个的ideal tower。所以它不是simple 李代数，而它又不能写成direct sum。

好像所有有乘法结构的代数，都有这个情况。就是除了simple和semisimple之外还有别的情况。

[TheMatrix]

有了结构就要定义homomorphism，也就是保持结构的映射。

假设有两个李代数 L 和 M。有一个函数 f: L --> M。保持结构的话，就要求
1，f 是线性变换 - 保持李代数的线性结构。
2，f([a,b])=[f(a),f(b)] - 保持李代数的乘法结构。

这样，f 就是李代数homomorphism。

有了homomorphism就有kernel，也就是 {a∈L: f(a)=0}，这是L的一个子集，子空间，子代数，比这些还稍微多一点。有乘法的结构的homomorphism的kernel一般叫ideal，比如环的ideal。

{0}和集合本身是trivial ideal，没有nontrivial ideal的李代数叫 simple 李代数。和单群的定义一样 - 没有能作为kernel的子群的群，叫单群。

由 simple 李代数做direct sum得到的李代数，叫 semisimple 李代数。

还有其他的李代数吗？有。还有 solvable 李代数。以及有 solvable 成分的李代数。

homomorphism也告诉了什么是isomorphism。

如果有双向的homomorphism，f: L --> M, g: M --> L, 而且f∘g和g∘f是各自空间上的identity映射，那么f和g是L和M之间的isomorphism。也就是L和M是disguised same thing。元素之间only different by labeling。

这很重要：这样在一个概念中，谁是谁，谁不是谁，就清楚了。

[TheMatrix]

有了结构就要定义homomorphism，也就是保持结构的映射。

假设有两个李代数 L 和 M。有一个函数 f: L --> M。保持结构的话，就要求
1，f 是线性变换 - 保持李代数的线性结构。
2，f([a,b])=[f(a),f(b)] - 保持李代数的乘法结构。

这样，f 就是李代数homomorphism。

有了homomorphism就有kernel，也就是 {a∈L: f(a)=0}，这是L的一个子集，子空间，子代数，比这些还稍微多一点。有乘法的结构的homomorphism的kernel一般叫ideal，比如环的ideal。

{0}和集合本身是trivial ideal，没有nontrivial ideal的李代数叫 simple 李代数。和单群的定义一样 - 没有能作为kernel的子群的群，叫单群。

由 simple 李代数做direct sum得到的李代数，叫 semisimple 李代数。

还有其他的李代数吗？有。还有 solvable 李代数。以及有 solvable 成分的李代数。

simple 李代数的分类已经完成，是借助李代数的表示论完成的。主要是Cartan的贡献。

李代数也有表示论。可以从李群的表示论中导出。也可以直接定义。

ρ: L --> End(V)

就是李代数 L 在线性空间V上的表示。这是一个李代数 L 到李代数 End(V) 之间的homomorphism。

End(V)是V上的线性变换构成的空间：{f: V --> V}。这也是一个李代数：A,B∈End(V)，乘法定义为[A,B]=AB-BA。

所以End(V)上有两个乘法，AB，这是matrix乘法。[A,B]，这是symmetric difference乘法。所以End(V)上有两个代数结构，一个是matrix algebra，一个是李代数的algebra。

从action来看，一个X∈L，作用在v∈V上，记为X.v，它等于ρ(X)(v)，也就是ρ(X)这个matrix作用在v上。

那么 [X,Y].v = X.Y.v - Y.X.v，李代数L这边的乘法，到了matrix这边成了symmetric difference乘法，也是End(V)作为李代数的乘法。

[TheMatrix]

simple 李代数的分类已经完成，是借助李代数的表示论完成的。主要是Cartan的贡献。

李代数也有表示论。可以从李群的表示论中导出。也可以直接定义。

ρ: L --> End(V)

就是李代数 L 在线性空间V上的表示。这是一个李代数 L 到李代数 End(V) 之间的homomorphism。

End(V)是V上的线性变换构成的空间：{f: V --> V}。这也是一个李代数：A,B∈End(V)，乘法定义为[A,B]=AB-BA。

所以End(V)上有两个乘法，AB，这是matrix乘法。[A,B]，这是symmetric difference乘法。所以End(V)上有两个代数结构，一个是matrix algebra，一个是李代数的algebra。

从action来看，一个X∈L，作用在v∈V上，记为X.v，它等于ρ(X)(v)，也就是ρ(X)这个matrix作用在v上。

那么 [X,Y].v = X.Y.v - Y.X.v，李代数L这边的乘法，到了matrix这边成了symmetric difference乘法，也是End(V)作为李代数的乘法。

李代数的表示论怎么再往下走一步呢？有限群的表示论很难借鉴了，因为李群是连续群，很无限。

Cartan subalgebra横空出世。

假设L是一个李代数，simple 李代数。Cartan subalgebra，H，是L里面的一个子代数，maximal abelian subalgebra。

首先 L 是simple 李代数，它里面没有ideal，但是可以有子代数，subalgebra。也就是这个子代数对乘法封闭就行。就好像单群里没有正规子群，但是可以有子群一样。

abelian是可交换，也就是[X,Y]=0，因为[X,Y]=XY-YX，[X,Y]=0就是XY=YX。这要在matrix的表示中make sense。

还要maximal，也就是最大的这样的子代数。最大的意思是，在一条一个套一个的子代数的tower的线索的顶点上。在这条线索上没有比它更大的，就是最大的。最大的可以不唯一。每一条线索上有一个最大的。

maximal通常可以作为一个物体的特征，因为一个物体中从某方面看只有一个maximal的子结构。不同物体从它们各自的maximal子结构看应该也不同 - 如果相同那就说它们在这个角度上归为同一类。这是哲学，或者语言学上的意义。

[TheMatrix]

李代数的表示论怎么再往下走一步呢？有限群的表示论很难借鉴了，因为李群是连续群，很无限。

Cartan subalgebra横空出世。

假设L是一个李代数，simple 李代数。Cartan subalgebra，H，是L里面的一个子代数，maximal abelian subalgebra。

首先 L 是simple 李代数，它里面没有ideal，但是可以有子代数，subalgebra。也就是这个子代数对乘法封闭就行。就好像单群里没有正规子群，但是可以有子群一样。

abelian是可交换，也就是[X,Y]=0，因为[X,Y]=XY-YX，[X,Y]=0就是XY=YX。这要在matrix的表示中make sense。

还要maximal，也就是最大的这样的子代数。最大的意思是，在一条一个套一个的子代数的tower的线索的顶点上。在这条线索上没有比它更大的，就是最大的。最大的可以不唯一。每一条线索上有一个最大的。

maximal通常可以作为一个物体的特征，因为一个物体中从某方面看只有一个maximal的子结构。不同物体从它们各自的maximal子结构看应该也不同 - 如果相同那就说它们在这个角度上归为同一类。这是哲学，或者语言学上的意义。

为什么要abelian呢？因为abelian的话，变成matrix之后乘法可交换，那么可以同时对角化，simultaneously diagonalizable。

为什么要同时对角化呢？

过程应该是这样的：最开始随便拿一个X∈L，在一个表示中，变成matrix之后，它可以对角化，（以复数为系数的话，所有matrix都可以对角化）。对角线上都是eigenvalue。

“取”一个eigenvalue，λ，赋值给这个X，这就变成了X到λ的映射。每一个X都有一个λ，定义了L上的一个函数，一个数值函数，也叫一个functional。总共有n个eigenvalue的话，就有了n个functional。然后研究n个functional之间的关系，希望能得出点结论。

但是这个过程有几个问题。

首先“取”一个eigenvalue - 你不知道取哪个，eigenvalue有n个，但是没有标记，没有顺序。但是eigenvalue可以以eigenvector为标记。以eigenvector为标记的话，X的eigenvector和Y的eigenvector必须一样。这样有n个eigenvector，对应的每一个X或Y就有相应的eigenvalue。这就要求X和Y有common eigenvector。

而有common eigenvector这个要求是不能扩大到全部李代数L上的。而在abelian子代数上，所有元素能同时对角化，也就是有common eigenvector。

所以functional这个思路，只能在abelian subalgebra上实施。再加上前面对maximal的阐述，就变成了maximal abelian subalgebra，也就是Cartan subalgebra。

整个这个过程中，好多东西要互相合拍。这是一种安排，人为的安排，不是说必然会出现什么。这就是发明。所以叫横空出世。

[TheMatrix]

为什么要abelian呢？因为abelian的话，变成matrix之后乘法可交换，那么可以同时对角化，simultaneously diagonalizable。

为什么要同时对角化呢？

过程应该是这样的：最开始随便拿一个X∈L，在一个表示中，变成matrix之后，它可以对角化，（以复数为系数的话，所有matrix都可以对角化）。对角线上都是eigenvalue。

“取”一个eigenvalue，λ，赋值给这个X，这就变成了X到λ的映射。每一个X都有一个λ，定义了L上的一个函数，一个数值函数，也叫一个functional。总共有n个eigenvalue的话，就有了n个functional。然后研究n个functional之间的关系，希望能得出点结论。

但是这个过程有几个问题。

首先“取”一个eigenvalue - 你不知道取哪个，eigenvalue有n个，但是没有标记，没有顺序。但是eigenvalue可以以eigenvector为标记。以eigenvector为标记的话，X的eigenvector和Y的eigenvector必须一样。这样有n个eigenvector，对应的每一个X或Y就有相应的eigenvalue。这就要求X和Y有common eigenvector。

而有common eigenvector这个要求是不能扩大到全部李代数L上的。而在abelian子代数上，所有元素能同时对角化，也就是有common eigenvector。

所以functional这个思路，只能在abelian subalgebra上实施。再加上前面对maximal的阐述，就变成了maximal abelian subalgebra，也就是Cartan subalgebra。

整个这个过程中，好多东西要互相合拍。这是一种安排，人为的安排，不是说必然会出现什么。这就是发明。所以叫横空出世。

还有一个就是，Cartan那个时候的人，应该对matrix很熟。一个matrix Lie algebra中，maximal abelian subalgebra什么样，应该都是很熟悉的。

[TheMatrix]

为什么要abelian呢？因为abelian的话，变成matrix之后乘法可交换，那么可以同时对角化，simultaneously diagonalizable。

为什么要同时对角化呢？

过程应该是这样的：最开始随便拿一个X∈L，在一个表示中，变成matrix之后，它可以对角化，（以复数为系数的话，所有matrix都可以对角化）。对角线上都是eigenvalue。

“取”一个eigenvalue，λ，赋值给这个X，这就变成了X到λ的映射。每一个X都有一个λ，定义了L上的一个函数，一个数值函数，也叫一个functional。总共有n个eigenvalue的话，就有了n个functional。然后研究n个functional之间的关系，希望能得出点结论。

但是这个过程有几个问题。

首先“取”一个eigenvalue - 你不知道取哪个，eigenvalue有n个，但是没有标记，没有顺序。但是eigenvalue可以以eigenvector为标记。以eigenvector为标记的话，X的eigenvector和Y的eigenvector必须一样。这样有n个eigenvector，对应的每一个X或Y就有相应的eigenvalue。这就要求X和Y有common eigenvector。

而有common eigenvector这个要求是不能扩大到全部李代数L上的。而在abelian子代数上，所有元素能同时对角化，也就是有common eigenvector。

所以functional这个思路，只能在abelian subalgebra上实施。再加上前面对maximal的阐述，就变成了maximal abelian subalgebra，也就是Cartan subalgebra。

整个这个过程中，好多东西要互相合拍。这是一种安排，人为的安排，不是说必然会出现什么。这就是发明。所以叫横空出世。

另一方面，是发明的话，就也可以不这么发明，可以有其他的路走。

[TheMatrix]

为什么要abelian呢？因为abelian的话，变成matrix之后乘法可交换，那么可以同时对角化，simultaneously diagonalizable。

为什么要同时对角化呢？

过程应该是这样的：最开始随便拿一个X∈L，在一个表示中，变成matrix之后，它可以对角化，（以复数为系数的话，所有matrix都可以对角化）。对角线上都是eigenvalue。

“取”一个eigenvalue，λ，赋值给这个X，这就变成了X到λ的映射。每一个X都有一个λ，定义了L上的一个函数，一个数值函数，也叫一个functional。总共有n个eigenvalue的话，就有了n个functional。然后研究n个functional之间的关系，希望能得出点结论。

但是这个过程有几个问题。

首先“取”一个eigenvalue - 你不知道取哪个，eigenvalue有n个，但是没有标记，没有顺序。但是eigenvalue可以以eigenvector为标记。以eigenvector为标记的话，X的eigenvector和Y的eigenvector必须一样。这样有n个eigenvector，对应的每一个X或Y就有相应的eigenvalue。这就要求X和Y有common eigenvector。

而有common eigenvector这个要求是不能扩大到全部李代数L上的。而在abelian子代数上，所有元素能同时对角化，也就是有common eigenvector。

所以functional这个思路，只能在abelian subalgebra上实施。再加上前面对maximal的阐述，就变成了maximal abelian subalgebra，也就是Cartan subalgebra。

整个这个过程中，好多东西要互相合拍。这是一种安排，人为的安排，不是说必然会出现什么。这就是发明。所以叫横空出世。

所以按照这条路走，就有一个李代数 L，假设为simple，有一个Cartan subalgebra H ⊆ L。

有一个李代数的表示，V，也就是 ρ: L --> End(V)。

假设V有n维，L有m维，H有h维。h ≤ m。

对于H来说，V会裂解为n个eigenvector，它们是H上所有元素的common eigenvector。每一个eigenvector都label了一个H上的，注意不是L上的，functional，是对应的eigenvalue。

总共有n个这样的functional。这n个functional，叫weight。实际上就是eigenvalue。

而H只有h维，如果 n > h 的话，那么这n个functional不全都线性无关。

这是一般的V。而李代数L本身也是一个线性空间，也有一个L的表示 - 任何一个代数上，乘法都可以看成自身的一个线性变换，也就是自己在自己上的一个表示。李代数中，这个表示叫adjoint representation。也就是 adj: L --> End(L)。它也有weight，称为root。

总共有m个root，在h维线性空间中，m是L的维度，h是H的维度。h ≤ m，所以这m个root一定线性相关。其中只有h个是线性无关的，它们也是这h维functional空间的基，叫simple root。

但是它们不是正交基，有一种方法可以定义它们之间的内积。组合起来形成一个 h * h 的matrix，叫Cartan matrix。可见Cartan已经把这些root放到欧几里得空间中看它们的位置关系了。这些root以及它们之间的位置关系，叫root system。

root system上的位置关系是非常restrictive的。两个simple root之间只有几个可能的夹角，以及长度的比例，再加上总的个数。所以root system的形态可以完全分类。这就是simple Lie algebra的完全分类。又叫Dynkin diagram。

总共有9类：
Classical 有4类：An, Bn, Cn, Dn。
Exceptional 有5类：E6, E7, E8, G2, F4。

[FoxMe]

Dynkin diagram一直没搞懂，不知道干啥的

[TheMatrix]

Dynkin diagram一直没搞懂，不知道干啥的

我也一直没搞懂。最近看了一下，好像是这么回事：

一个semisimple李代数 L，它有一个root system，也就是全部root的位置关系。

一个root是Cartan subalgebra H上的一个functional。比如λ是一个root的话，那么for X ∈ H，λ(X)是X的adjoint representation的eigenvalue。

L有n维的话，那么总共有n个root。每一个root对应一个eigenvector。

而H是Cartan subalgebra，它只有h维，h ≤ n，所以H上的functional只能有h个线性无关的，也就是只能有h个root是独立的，这叫simple root。

simple root之间有inner product，也就是它们存在于欧几里得空间之中。也就有位置关系。长度，角度。

simple root之间inner product有非常强的限制。只能取四个数，0，1，2，3。这个怎么算出来的呢？我也没仔细看。

所以两个simple root之间的夹角，只能有4个值：90°，120°，135°，150°。对应长度之比也是固定的。90°的叫orthogonal，长度之比没有要求。120°的两个root长度必须相等，135°的两个root长度之比为√2，150°的两个root长度之比为√3。

Dynkin diagram是以点线来表示simple root之间位置关系的图：一个simple root是一个点。夹角为90°的两个simple root之间为orthogonal，没有连线。夹角为120°的两个simple root之间有单线连接，夹角为135°的有双线连接，夹角为150°的有三线连接。连线上还可以画上箭头，长度大的simple root指向长度小的simple root。这就是Dynkin diagram.

Dynkin diagram可以用来fully classify simple Lie algebra。

比如Dynkin diagram只有两个点的，总共可以有多少种不同的图？有限的。三个点的呢？也是有限的。就这样往上走，就发现只有9种不同的Dynkin diagram。

[verdelite]

另一方面，是发明的话，就也可以不这么发明，可以有其他的路走。

谈不上横空出世吧。看着是先有量子力学，后有李代数。量子力学里面的泊松括号表示法，看着和这个李代数的东西差不多。看起来又是数学家把物理学家的数学规范化了。

[TheMatrix]

总共有9类：
Classical 有4类：An, Bn, Cn, Dn。
Exceptional 有5类：E6, E7, E8, G2, F4。

比如Bn root system。

它代表so_2n+1，odd orthogonal Lie algebra。
n是Cartan subalgebra的维度，也叫rank。
Lie algebra本身的维度是n(2n+1)。

Cartan subalgebra作用在Lie algebra上，作用在自己的部分等于0，因为这是adjoint action。作用在其余的部分有eigenvector，共n(2n+1)-n=2n²。所以一共有2n²个root。但是它们所在的空间只有n维，等于Cartan subalgebra的维度。所以其中只有n个线性无关的，叫simple root。

比如B3。它代表so(7)。so(7)本身的维度是3*7=21维。减去Cartan subalgebra的维度就是18，所以总共有18个root，其中只有n=3个simple root。也就是18个root在3维空间中。

Dynkin diagram有3个node，代表3个simple root。从左到右是X,Y,Z：


simple root之间都取钝角。X和Y之间是双线，代表夹角为135°，也代表root长度比例是√2。双线上的箭头代表Y比X的长度大。Y和Z之间是单线，代表夹角为120°，也代表长度相等。X和Z之间没有连接，代表orthogonal。其余的root都是由这三个simple root做integer linear combination生成。而且integer只能取0,1,-1。

[TheMatrix]

其余的root都是由这三个simple root做integer linear combination生成。而且integer只能取0,1,-1。

这个好像不对。我看到一个root等于2X+Y+Z。

[TheMatrix]

谈不上横空出世吧。看着是先有量子力学，后有李代数。量子力学里面的泊松括号表示法，看着和这个李代数的东西差不多。看起来又是数学家把物理学家的数学规范化了。

嗯。确实。Cartan subalgebra就是最大对易算符集合。物理意义就是能同时确定的observable。确实是物理学家发明的。也谈不上发明了，大家很自然就提出这个概念了。

任何一个observable，就是这里的李代数里的一个元素X，也是一个operator，都有n个eigenvalue和eigenvector。如果其中一个是X.v=λv。那么其他的可以根据这个，在几个方向上做加减得到：

假设包含X的最大对易集合是H，也就是Cartan subalgebra。假设simple root是a,b,c，对应simple root vector是A,B,C，也就是[X,A]=aA，那么X.(Av)=(λ+a)Av，也就是Av也是X的eigenvector，对应新的eigenvalue λ+a。

[FoxMe]

噢，多想介绍。

比如Bn root system。

它代表so_2n+1，odd orthogonal Lie algebra。
n是Cartan subalgebra的维度，也叫rank。
Lie algebra本身的维度是n(2n+1)。

Cartan subalgebra作用在Lie algebra上，作用在自己的部分等于0，因为这是adjoint action。作用在其余的部分有eigenvector，共n(2n+1)-n=2n²。所以一共有2n²个root。但是它们所在的空间只有n维，等于Cartan subalgebra的维度。所以其中只有n个线性无关的，叫simple root。

比如B3。它代表so(7)。so(7)本身的维度是3*7=21维。减去Cartan subalgebra的维度就是18，所以总共有18个root，其中只有n=3个simple root。也就是18个root在3维空间中。

Dynkin diagram有3个node，代表3个simple root。从左到右是X,Y,Z：


simple root之间都取钝角。X和Y之间是双线，代表夹角为135°，也代表root长度比例是√2。双线上的箭头代表Y比X的长度大。Y和Z之间是单线，代表夹角为120°，也代表长度相等。X和Z之间没有连接，代表orthogonal。其余的root都是由这三个simple root做integer linear combination生成。而且integer只能取0,1,-1。