Etale cohomology

[TheMatrix]

复习 + 学习。

假设R是一个commutative ring。一般来讲是作为系数用的，所以要求commutative。

假设有一个序列的R-module，(M₁,M₂,M₃,...)，相邻的之间都有homomorphism：

M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

每个homomorphism都叫∂，也可以说 ∂ = (∂₁,∂₂,∂₃,...)：

∂_n: M_n --> M_n+1

∂好像也读作d，是d的一个花体写法。

要求 ∂∂=0，或者 ∂²=0。满足了这一点，这个chain就叫chain complex，或者叫complex。

至于为什么叫complex，我也不知道。

比如看M₂这个节点，它左边是 ∂₁: M₁ --> M₂，右边是 ∂₂: M₂ --> M₃。∂=0的意思是∂₂∘∂₁=0。也就是Im(∂₁) ⊆ ker(∂₂)，意思是：

Image of ∂₁ ⊆ kernel of ∂₂

这两个都是M₂的submodule。

那么就可以做quotient module：H₁ = ker(∂₂)/Im(∂₁)。

结果还是一个R-module。这个H₁，就叫first homology module。

同理还有second homology module, third homology module,...，记为 H_n。

[TheMatrix]

复习 + 学习。

假设R是一个commutative ring。一般来讲是作为系数用的，所以要求commutative。

假设有一个序列的R-module，(M₁,M₂,M₃,...)，相邻的之间都有homomorphism：

M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

每个homomorphism都叫d，也可以说 d = (d₁,d₂,d₃,...)：

d_n: M_n --> M_n+1

要求 dd=0，或者 d²=0。满足了这一点，这个chain就叫chain complex，或者叫complex。

至于为什么叫complex，我也不知道。

比如看M₂这个节点，它左边是 d₁: M₁ --> M₂，右边是 d₂: M₂ --> M₃。dd=0的意思是d₂∘d₁=0。也就是Im(d₁) ⊆ ker(d₂)，意思是：

Image of d₁ ⊆ kernel of d₂

这两个都是M₂的submodule。

那么就可以做quotient module：H₁ = ker(d₂)/Im(d₁)。

结果还是一个R-module。这个H₁，就叫first homology module。

同理还有second homology module, third homology module,...，记为 H_n。

现在考虑M_n上的linear functional空间，记为 Hom(M_n,R)。也就是全部的线性函数{f: M_n --> R}。这也是一个R-module。

那么就有一个序列的这样的空间：(Hom(M₁,R),Hom(M₂,R),Hom(M₃,R),...)。

两两之间有一个反向的homomorphism。比如 Hom(M₂,R) --> Hom(M₁,R)。也就是Hom(M₂,R)中的一个元素映射到Hom(M₁,R)，也就是M₂上的一个linear functional f映射到M₁上的一个linear functional g。这是很容易的，因为g=f∘d （这里应该是d₁）。

所以我们有了一个反向的chain of homomorphism:
Hom(M₁,R) <-- Hom(M₂,R) <-- Hom(M₃,R) <-- ...

这个homomorphism也可以叫d，（可以把前面homology那里的d改一个名字，叫∂，这个也是一个d的花体的写法），而且也有dd=0。

所以这也是一个chain complex，一个反向的chain complex。它的关键是 dd=0。

只要有chain complex，就可以定义 ker(d)/Im(d)。这个就是cohomology module，这个用上标，记为Hⁿ。

这里要把index安排一下。这样安排：

前面，∂₁: M₁ --> M₂。
反过来之后，d₁: Hom(M₂,R) --> Hom(M₁,R)

这样就有了 (d₁,d₂,d₃,...)。dd=0 意思是 d_n∘d_n+1=0。

[TheMatrix]

Etale cohomology一直没搞懂。构建挺复杂。看看这次能不能把它打通。

[TheMatrix]

Etale这个名字就很迷惑。这里有解释：

[TheMatrix]

Etale cohomology一直没搞懂。构建挺复杂。看看这次能不能把它打通。

主要是第一步，etale topology，很难理解。

sheaf和derived functor也很复杂，但是好像比较机械化，和其他地方出现的情况是一样的。

[TheMatrix]

主要是第一步，etale topology，很难理解。

主要是covering这个地方没懂。

传统topology是定义一套open set。虽然有covering这个概念，但covering本身并不是open set。

看来etale topology并不是定义一套新的open set以得到传统的topology，而是以第二步为目标，能输入sheaf，就成功了。

所以还得直接看怎么搞出的sheaf。

[TheMatrix]

[TheMatrix]

主要是covering这个地方没懂。

传统topology是定义一套open set。虽然有covering这个概念，但covering本身并不是open set。

看来etale topology并不是定义一套新的open set以得到传统的topology，而是以第二步为目标，能输入sheaf，就成功了。

所以还得直接看怎么搞出的sheaf。

要先看一下sheaf是怎么搞出的cohomology。

sheaf cohomology，最开始sheaf on a topological space X。然后有一个right derived functor，好像直接就是一个chain complex，这样就cohomology了。

Etale这套也是sheaf，但不是sheaf on a topological space，是其他的sheaf。

所以先看一下sheaf cohomology，然后再看etale这套是怎么接到sheaf cohomology就行了。

[TheMatrix]

要先看一下sheaf是怎么搞出的cohomology。

sheaf cohomology，最开始sheaf on a topological space X。然后有一个right derived functor，好像直接就是一个chain complex，这样就cohomology了。

Etale这套也是sheaf，但不是sheaf on a topological space，是其他的sheaf。

所以先看一下sheaf cohomology，然后再看etale这套是怎么接到sheaf cohomology就行了。

首先是sheaf。最开始是sheaf on a topological space。Etale不是sheaf on a topological space，但是还是要先懂sheaf on a topological space。

一个space X，上面定义了拓扑，也就是定义一套开集，就成了topological space。

而这套开集本身，可以作为一个category，其中的object就是开集，morphism就是开集之间的inclusion关系。

然后，sheaf，S，就是这个category上的一个functor。

比如，sheaf of functions on X。就是X上每一个开集上面有一个function space。它的motivation是研究解析函数的定义域。假设两个domain之间 V ⊆ U，那么U上的解析函数自动也是V上的解析函数，而反过来不是，有些解析函数只在V上解析，domain变大之后它就不解析了。用S(V)和S(U)代表V和U上的解析函数空间的话，有S(U)⊆S(V)。inclusion的方向反过来了，所以这是一个contravariant functor。

这个应该叫sheaf of module (of functions on X)。因为S是一个从开集到函数空间(module or vector space of functions on X)的一个functor。

sheaf还有一些其他条件，主要是glue condition，相当于把小片开集粘合成manifold。

[TheMatrix]

首先是sheaf。最开始是sheaf on a topological space。Etale不是sheaf on a topological space，但是还是要先懂sheaf on a topological space。

一个space X，上面定义了拓扑，也就是定义一套开集，就成了topological space。

而这套开集本身，可以作为一个category，其中的object就是开集，morphism就是开集之间的inclusion关系。

然后，sheaf，S，就是这个category上的一个functor。

比如，sheaf of functions on X。就是X上每一个开集上面有一个function space。它的motivation是研究解析函数的定义域。假设两个domain之间 V ⊆ U，那么U上的解析函数自动也是V上的解析函数，而反过来不是，有些解析函数只在V上解析，domain变大之后它就不解析了。用S(V)和S(U)代表V和U上的解析函数空间的话，有S(U)⊆S(V)。inclusion的方向反过来了，所以这是一个contravariant functor。

这个应该叫sheaf of module (of functions on X)。因为S是一个从开集到函数空间(module or vector space of functions on X)的一个functor。

sheaf还有一些其他条件，主要是glue condition，相当于把小片开集粘合成manifold。

这个sheaf可以写成 S: X --> Module，或者写成 S: T_X --> Module，强调自变量是X的拓扑。

这只是一个sheaf，也就是一个functor，还有其它functor，比如sheaf of functions on X that equal to zero at a point p ∈ X。这和前面那个肯定不一样。但它也是 X --> Module的一个functor。

这样的functor有很多，放在一起又是一个category - category of sheaves on X，更准确地，category of functors from T_X to Module (of functions on X)。

什么都可以是category。Category就是一个点线图。有限的，无限的，都可以。随便变化一点描述就可以作为一个category。

这是一个以functor为object的category。morphism是functor之间的natural transformation。

也就是：
V --> U

functor S₁,S₂：
S₁(U) --> S₁(V)
S₂(U) --> S₂(V)

natural transformation是
S₁(U) --> S₂(U)
S₁(V) --> S₂(V)

这样在目标category有4个箭头，形成两条路径。natural transformation要求这两条路径合成相等。

[TheMatrix]

这个sheaf可以写成 S: X --> Module，或者写成 S: T_X --> Module，强调自变量是X的拓扑。

这只是一个sheaf，也就是一个functor，还有其它functor，比如sheaf of functions on X that equal to zero at a point p ∈ X。这和前面那个肯定不一样。但它也是 X --> Module的一个functor。

这样的functor有很多，放在一起又是一个category - category of sheaves on X，更准确地，category of functors from T_X to Module (of functions on X)。

什么都可以是category。Category就是一个点线图。有限的，无限的，都可以。随便变化一点描述就可以作为一个category。

这是一个以functor为object的category。morphism是functor之间的natural transformation。

也就是：
V --> U

functor S₁,S₂：
S₁(U) --> S₁(V)
S₂(U) --> S₂(V)

natural transformation是
S₁(U) --> S₂(U)
S₁(V) --> S₂(V)

这样在目标category有4个箭头，形成两条路径。natural transformation要求这两条路径合成相等。

所以现在有了一个Sheaf category。这上面还可以有functor！

这个functor叫functor of global section。

section，意思是截面，是function的一种扩展，概念是从vector bundle里来的，目的是一个点的取值，是取在自己上面的空间里。两个点上面的空间可能都是比如实数，但是要看成两个copy of实数，也就是两条线。这对于弯曲空间上的函数来讲，概念是合理的。

X上的每一个开集U上的函数，就叫一个section，可以理解定义在这个开集U上的一个函数。每一个sheaf S，都给出一个U上的function空间S(U)。

而global section，就是整个空间X上的section或者function。也就是S(X)上的一个元素。

functor of global section，记为 Γ(X,-)，是Sheaf category上的一个functor，S --> Γ(X,S)=S(X)。

所以这是一个从Sheaf category 到 Module category的一个functor，Γ(X,-): Sheaf --> Module。

[FoxMe]

想想军工复合体Military-Industrial Complex，比较复杂的东西

complex: a group of similar buildings or facilities on the same site.
a new apartment complex

复习 + 学习。

假设R是一个commutative ring。一般来讲是作为系数用的，所以要求commutative。

假设有一个序列的R-module，(M₁,M₂,M₃,...)，相邻的之间都有homomorphism：

M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

每个homomorphism都叫∂，也可以说 ∂ = (∂₁,∂₂,∂₃,...)：

∂_n: M_n --> M_n+1

∂好像也读作d，是d的一个花体写法。

要求 ∂∂=0，或者 ∂²=0。满足了这一点，这个chain就叫chain complex，或者叫complex。

至于为什么叫complex，我也不知道。

比如看M₂这个节点，它左边是 ∂₁: M₁ --> M₂，右边是 ∂₂: M₂ --> M₃。∂=0的意思是∂₂∘∂₁=0。也就是Im(∂₁) ⊆ ker(∂₂)，意思是：

Image of ∂₁ ⊆ kernel of ∂₂

这两个都是M₂的submodule。

那么就可以做quotient module：H₁ = ker(∂₂)/Im(∂₁)。

结果还是一个R-module。这个H₁，就叫first homology module。

同理还有second homology module, third homology module,...，记为 H_n。

[TheMatrix]

所以现在有了一个Sheaf category。这上面还可以有functor！

这个functor叫functor of global section。

section，意思是截面，是function的一种扩展，概念是从vector bundle里来的，目的是一个点的取值，是取在自己上面的空间里。两个点上面的空间可能都是比如实数，但是要看成两个copy of实数，也就是两条线。这对于弯曲空间上的函数来讲，概念是合理的。

X上的每一个开集U上的函数，就叫一个section，可以理解定义在这个开集U上的一个函数。每一个sheaf S，都给出一个U上的function空间S(U)。

而global section，就是整个空间X上的section或者function。也就是S(X)上的一个元素。

functor of global section，记为 Γ(X,-)，是Sheaf category上的一个functor，S --> Γ(X,S)=S(X)。

所以这是一个从Sheaf category 到 Module category的一个functor，Γ(X,-): Sheaf --> Module。

这个global section functor, Γ(X,-), is left exact but not right exact.

什么意思呢？这个地方挺subtle。

就是假如有两个sheaf，S₁和S₂，

如果它们之间有一个injective morphism S₁ --> S₂，那么Γ(X,S₁) --> Γ(X,S₂)仍然是injective morphism (in the Module category)。这叫left exact。

但是如果它们之间有一个surjective morphism S₁ --> S₂，那么Γ(X,S₁) --> Γ(X,S₂)不一定还是surjective morphism (in the Module category)。也就是它不是right exact。

为什么叫left和right呢？因为在一个module short exact sequence
0 --> A --> B --> C --> 0
中，在A,B,C每一个节点上都有exact，也就是image of the previous homomorphism = kernel of the next homomorphism。这样的话，A --> B就是injection，B --> C就是surjection。所以injection在这个sequence的左边，而surjection在这个sequence的右边。所以一个functor保持injection就叫left exact，保持surjection就叫right exact。

[FoxMe]

哦，还有etale algebra

An étale algebra is a concept from algebraic number theory and algebraic geometry, typically over a field, that generalizes the idea of separable field extensions. It can be described in several equivalent ways, depending on the context, but here is a general overview:

Étale Algebras Over a Field
Given a field 𝐾, an étale algebra over 𝐾 is a finite-dimensional 𝐾-algebra that is separable. More specifically:

It is isomorphic to a finite product of finite separable field extensions of 𝐾.

If 𝐿 is an étale algebra over 𝐾, it has the structure:
𝐿≅𝐿1×𝐿2×⋯×𝐿𝑛
where each 𝐿𝑖 s a finite separable field extension of 𝐾.

In essence, an étale algebra is a commutative algebra that behaves "nicely" in the sense that it can be decomposed into simpler parts (separable field extensions). Such algebras are important because they exhibit properties similar to those of separable field extensions, even when the base field is not perfect (like fields of positive characteristic).

Etale这个名字就很迷惑。这里有解释：

[TheMatrix]

这个global section functor, Γ(X,-), is left exact but not right exact.

什么意思呢？这个地方挺subtle。

就是假如有两个sheaf，S₁和S₂，

如果它们之间有一个injective morphism S₁ --> S₂，那么Γ(X,S₁) --> Γ(X,S₂)仍然是injective morphism (in the Module category)。这叫left exact。

但是如果它们之间有一个surjective morphism S₁ --> S₂，那么Γ(X,S₁) --> Γ(X,S₂)不一定还是surjective morphism (in the Module category)。也就是它不是right exact。

为什么叫left和right呢？因为在一个module short exact sequence
0 --> A --> B --> C --> 0
中，在A,B,C每一个节点上都有exact，也就是image of the previous homomorphism = kernel of the next homomorphism。这样的话，A --> B就是injection，B --> C就是surjection。所以injection在这个sequence的左边，而surjection在这个sequence的右边。所以一个functor保持injection就叫left exact，保持surjection就叫right exact。

这里迷惑的地方是，什么叫 injective morphism S₁ --> S₂，什么叫surjective morphism S₁ --> S₂。两个sheaf之间怎么injective和surjective。

Well，这是Sheaf category中的两个object，之间可以有morphism，那么就可以有injective morphism和surjective morphism。可以用点线图来定义。但是解耦的话，其含义就是：



这小段挺不容易理解的。我记得我以前是理解的。但是现在又不理解了。

[TheMatrix]

比如，sheaf of functions on X。就是X上每一个开集上面有一个function space。它的motivation是研究解析函数的定义域。假设两个domain之间 V ⊆ U，那么U上的解析函数自动也是V上的解析函数，而反过来不是，有些解析函数只在V上解析，domain变大之后它就不解析了。用S(V)和S(U)代表V和U上的解析函数空间的话，有S(U)⊆S(V)。inclusion的方向反过来了，所以这是一个contravariant functor。

这个地方不对。

S(U)⊆S(V)，而是 S(U) --> S(V)，S(U)有一个morphism到 S(V)，是U上的函数restriction到V上的函数，因为V ⊆ U。S(U) --> S(V)不是inclusion的关系，应该是projection的关系。

S(U)和 S(V)谁大？也就是谁的里面函数多？应该是S(U)里的多。S(V)里的少。

[TheMatrix]

这里迷惑的地方是，什么叫 injective morphism S₁ --> S₂，什么叫surjective morphism S₁ --> S₂。两个sheaf之间怎么injective和surjective。

Well，这是Sheaf category中的两个object，之间可以有morphism，那么就可以有injective morphism和surjective morphism。可以用点线图来定义。但是解耦的话，其含义就是：



这小段挺不容易理解的。我记得我以前是理解的。但是现在又不理解了。

这小段本身是明白了。不明白的是为什么sheaf之间的injective morphism和surjective morphism等价于stalk上的injective morphism和surjective morphism。

范畴论中，两个object之间的morphism，可以以点线的方式定义injective和surjective。

比如 f: B --> C，

如果任意两个morphism g₁,g₂: A --> B，满足
f∘g₁=f∘g₂ ==> g₁=g₂
那么f就叫injective morphism，或monomorphism。

如果任意两个morphism g₁,g₂: B --> A，满足
g₁∘f=g₂∘f ==> g₁=g₂
那么f就叫surjective morphism，或epimorphism。

所以两个sheaf之间的injective morphism或surjective morphism是有定义的。但是这个定义为什么等价于stalk上的injective morphism和surjective morphism。这个不知道。推不出来。可能要用到abelian category的性质？现在只能接受它了。或者直接接受它作为sheaf injective和surjective的定义。

[TheMatrix]

这里迷惑的地方是，什么叫 injective morphism S₁ --> S₂，什么叫surjective morphism S₁ --> S₂。两个sheaf之间怎么injective和surjective。

Well，这是Sheaf category中的两个object，之间可以有morphism，那么就可以有injective morphism和surjective morphism。可以用点线图来定义。但是解耦的话，其含义就是：



这小段挺不容易理解的。我记得我以前是理解的。但是现在又不理解了。

sheaf的stalk是这么定义的：任意点 x ∈ X，取一个包含x点的tower of open set：
... ⊆ U₃ ⊆ U₂ ⊆ U₁

sheaf S在x点的stalk，记为S_x，定义为the inverse limit of S(U_n)。

就是看越来越小的包含x的开集，上的函数集合，的limit。

这个按照对不同大小的开集上的函数空间的大小的理解，它应该是越来越小的，函数越来越少。

[TheMatrix]

这里迷惑的地方是，什么叫 injective morphism S₁ --> S₂，什么叫surjective morphism S₁ --> S₂。两个sheaf之间怎么injective和surjective。

Well，这是Sheaf category中的两个object，之间可以有morphism，那么就可以有injective morphism和surjective morphism。可以用点线图来定义。但是解耦的话，其含义就是：



这小段挺不容易理解的。我记得我以前是理解的。但是现在又不理解了。

stalk injective 推出在每一个每一个开集上injective，这是比较容易的。也就是任意 U，S₁(U) --> S₂(U) injective，包括全集 U=X。

stalk surjective 推出这一小段里的展开，也是比较容易的。

sheaf surjective 不能推出 global section surjective，这个我找到一个例子：

假设
B是单位圆上的sheaf of smooth function that vanishes at a point，
C是单位圆上的sheaf of smooth functions.

那么B在每一个open set U上肯定都是C的子集：B(U) ⊆ C(U)。

所以这个inclusion，就是一个 B --> C的sheaf injective morphism。

但是，这个morphism原封不动，又是一个sheaf surjective morphism！

为什么呢？因为按照sheaf surjective 的stalk surjective的定义，每一点x ∈ X，B_x --> C_x 也是surjective，因为stalk surjective只看local的性质，只要有一个小的open set x ∈ U上B(U) --> C(U) surjective，那么stalk就surjective。而在我们这个例子中，除了全集之外的任何一个开集，B(U)和C(U)都是一样的。

B(U)是单位圆上的smooth function that vanishes at a point，restricted on U。
C(U)是单位圆上的smooth functions，restricted on U。
只要U不是全集，这两个集合就是一样的。

这也是很奇妙的。不知道我推得对不对。

而如果看global section，也就是B(X)和C(X)，那么确实不一样。因为C(X)里有constant !=0 的function，是B(X)里没有的。所以B(X) --> C(X)不是surjection。

我印象中，global section操作，之所以不preserve surjectivity，是因为X的拓扑限制。但是在这个例子中，我们用了单位圆，即使不用单位圆，用实数线R，好像这个例子也成立。所以感觉又和拓扑无关。这是一个问题。

[TheMatrix]

我印象中，global section操作，之所以不preserve surjectivity，是因为X的拓扑限制。但是在这个例子中，我们用了单位圆，即使不用单位圆，用实数线R，好像这个例子也成立。所以感觉又和拓扑无关。这是一个问题。

不过可以先不管这些问题。继续往下走。

就到了derived functor，和sheaf cohomology了。