Etale cohomology

[TheMatrix]

不过可以先不管这些问题。继续往下走。

就到了derived functor，和sheaf cohomology了。

derived functor形式化看起来是合理的，但是比较抽象。

derived functor 分 right derived functor 和 left derived functor。我们看right derived functor。Left derived functor 从 category的角度看是right derived functor 的 dual。

right derived functor是对一个 left exact functor F而言的。left exact functor 就是它保持injection但是不保持surjection。所以假设在C中有一个long exact sequence:

0 --> M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

用了left exact functor F之后，到了category D中，有：

0 --> F(M₁) --> F(M₂) --> F(M₃) --> ...

只有第一个节点是 exact 的，也就是injection。后面的节点都不再是 exact的了。

但是，仍然有 dd=0，也就是相邻的两个morphism合成等于0。因为 dd=0 ==> F(dd)=F(d)F(d)=0。

所以category C中的 long exact sequence，到了 category D中，变成了chain complex。

这样就可以求cohomology，Hⁿ= kernel(F(d): F(M_n) --> F(M_n+1)) / image (F(d): F(M_n-1) --> F(M_n))。

每一个Hⁿ，是从C出发的一个functor，和F有关，叫F的 right derived functor。是一系列functor。

[TheMatrix]

derived functor形式化看起来是合理的，但是比较抽象。

derived functor 分 right derived functor 和 left derived functor。我们看right derived functor。Left derived functor 从 category的角度看是right derived functor 的 dual。

right derived functor是对一个 left exact functor F而言的。left exact functor 就是它保持injection但是不保持surjection。所以假设在C中有一个long exact sequence:

0 --> M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

用了left exact functor F之后，到了category D中，有：

0 --> F(M₁) --> F(M₂) --> F(M₃) --> ...

只有第一个节点是 exact 的，也就是injection。后面的节点都不再是 exact的了。

但是，仍然有 dd=0，也就是相邻的两个morphism合成等于0。因为 dd=0 ==> F(dd)=F(d)F(d)=0。

所以category C中的 long exact sequence，到了 category D中，变成了chain complex。

这样就可以求cohomology，Hⁿ= kernel(F(d): F(M_n) --> F(M_n+1)) / image (F(d): F(M_n-1) --> F(M_n))。

每一个Hⁿ，是从C出发的一个functor，和F有关，叫F的 right derived functor。是一系列functor。

所以derived functor就是cohomology functor，求出来是一系列，不是一个。

这个过程和两个东西有关：

一个是C category中的long exact sequence
0 --> M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

一个是F 这个left exact functor。

C中的long exact sequence，如果是从第一个object中发展出来的，那么就只和第一个object有关：

0 --> M --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...

这叫injective resolution.

如果M是一个module的话，后面的I_n都是injective module。这是一些具有特定性质的module。这还是比较具体的。

如果M是一个sheaf的话，也就是在Sheaf category里考虑这个injective resolution，后面的I_n都是injective sheaf。这就比较抽象了。这都是Grothendieck搞出来的。

整个这个机制逻辑上比较清晰，而且具有非常高的通用性 - 到处都可以用同一个机制来解释。但就是太抽象。

[TheMatrix]

所以derived functor就是cohomology functor，求出来是一系列，不是一个。

这个过程和两个东西有关：

一个是C category中的long exact sequence
0 --> M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

一个是F 这个left exact functor。

C中的long exact sequence，如果是从第一个object中发展出来的，那么就只和第一个object有关：

0 --> M --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...

这叫injective resolution.

如果M是一个module的话，后面的I_n都是injective module。这是一些具有特定性质的module。这还是比较具体的。

如果M是一个sheaf的话，也就是在Sheaf category里考虑这个injective resolution，后面的I_n都是injective sheaf。这就比较抽象了。这都是Grothendieck搞出来的。

整个这个机制逻辑上比较清晰，而且具有非常高的通用性 - 到处都可以用同一个机制来解释。但就是太抽象。

Injective resolution
0 --> M --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...
要有唯一性，而且只和M有关。这样才能说这是对M的研究。

再加上F这个left exact functor。可以说derived functor是对M和F的研究。和这两个都有关。

Injective resolution确实具有唯一性，up to 后面得出的cohomology group。

从构建上，也有唯一性，或者叫canonical的方法，也就是有步骤的。

比如在module的情况下，有injective module的概念。Injective module 就是一个module I，对于任意一个module-submodule pair A ⊆ B，任意 homomorphism A --> I 都能扩展到 B --> I，这样的module就叫 injective module。

有点像algebraic closure的概念。任意一个field都有algebraic closure。任意一个module M，都能找到一个injective module I，使M是I的submodule。也可以说I是M的injective closure。

这样找到之后，就有了第一个箭头： 0 --> M --> I₀。

然后做quotient，I₀/M，看这个quotient module是不是injective module。如果不是，再找它的injective closure。这样这个链条就延申下去了。如果这个quotient module本身就是injective module，那么这个链条就停止了。

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Injective resolution
0 --> M --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...
要有唯一性，而且只和M有关。这样才能说这是对M的研究。

再加上F这个left exact functor。可以说derived functor是对M和F的研究。和这两个都有关。

Injective resolution确实具有唯一性，up to 后面得出的cohomology group。

从构建上，也有唯一性，或者叫canonical的方法，也就是有步骤的。

比如在module的情况下，有injective module的概念。Injective module 就是一个module I，对于任意一个module-submodule pair A ⊆ B，任意 homomorphism A --> I 都能扩展到 B --> I，这样的module就叫 injective module。

有点像algebraic closure的概念。任意一个field都有algebraic closure。任意一个module M，都能找到一个injective module I，使M是I的submodule。也可以说I是M的injective closure。

这样找到之后，就有了第一个箭头： 0 --> M --> I₀。

然后做quotient，I₀/M，看这个quotient module是不是injective module。如果不是，再找它的injective closure。这样这个链条就延申下去了。如果这个quotient module本身就是injective module，那么这个链条就停止了。

有步骤就叫canonical。一步一步来，出来啥就是啥。

在module的情况下，还是比较具体的。

但是在sheaf的情况下，一个sheaf本身就是一个functor，已经不是一个object了，是一个functor。一个functor再作为object，这么一个东西。要找到它的injective resolution。也就是，

0 --> S --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...

S是我们要研究的sheaf。I_n每一个都是injective sheaf。

我觉得抽象得很。不知道怎么搞出来。

[TheMatrix]

有步骤就叫canonical。一步一步来，出来啥就是啥。

在module的情况下，还是比较具体的。

但是在sheaf的情况下，一个sheaf本身就是一个functor，已经不是一个object了，是一个functor。一个functor再作为object，这么一个东西。要找到它的injective resolution。也就是，

0 --> S --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...

S是我们要研究的sheaf。I_n每一个都是injective sheaf。

我觉得抽象得很。不知道怎么搞出来。

先不管。接下来看看Etale是怎么搞出来的sheaf。

嗯。看起来这个sheaf cohomology确实不需要topology，只要有一个sheaf就行。然后走injective resolution，再加一个left exact functor，就可以得到right derived functor，也就是cohomology了。

[FoxMe]

sheaf/scheme这些东西太抽象，我看了又忘了，等于白学。homology/cohomology这些有点感觉了，学了能用上，就能逐步掌握。

上面说scheme spec(F_q)是啥意思？spec(F_q)是个scheme吗？F_q有啥prime ideal? ideal只有{0}和它自己

主要是covering这个地方没懂。

传统topology是定义一套open set。虽然有covering这个概念，但covering本身并不是open set。

看来etale topology并不是定义一套新的open set以得到传统的topology，而是以第二步为目标，能输入sheaf，就成功了。

所以还得直接看怎么搞出的sheaf。

[FoxMe]

一到scheme这里，就迷失了。variety很具体，但是scheme是啥？抓不住

Difference Between Schemes and Varieties
Varieties are typically defined over fields and represent more classical geometric objects (like curves, surfaces, etc.). Varieties are a special case of schemes where the ring is a field.
Schemes generalize varieties to work over any commutative ring, not just fields. They allow for "singular" spaces and spaces over more general bases (e.g., over rings of integers), making them a more flexible and general concept.