是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？

verdelite · 帖子由 **verdelite楼主** » 2022年 12月 15日 11:45

我觉得是的，但是我当初学线性代数的小书（本校老师自己写的，非数学专业学的）上没有说。

后来就一直不知道，因为再没有机会系统学习一下线性代数了。

TheMatrix · 帖子由 **TheMatrix** » 2022年 12月 15日 12:02

verdelite 写了： 2022年 12月 15日 11:45 我觉得是的，但是我当初学线性代数的小书（本校老师自己写的，非数学专业学的）上没有说。

后来就一直不知道，因为再没有机会系统学习一下线性代数了。

是。可逆的线形变换，也就是GL(V)，就是由这些基本变换组合出来的。

verdelite · 帖子由 **verdelite楼主** » 2022年 12月 15日 12:04

TheMatrix 写了： 2022年 12月 15日 12:02 是。可逆的线形变换，也就是GL(V)，就是由这些基本变换组合出来的。

不可逆的呢？应该也是吧？刚才我专门编辑了加入“压缩”二字，好把projection也包括在内。

TheMatrix · 帖子由 **TheMatrix** » 2022年 12月 15日 12:06

verdelite 写了： 2022年 12月 15日 12:04 不可逆的呢？应该也是吧？刚才我专门编辑了加入“压缩”二字，好把projection也包括在内。

如果你说的压缩包括projection的话，那就是全部线性变换都可以由它们组合。

YWY

verdelite 写了： 2022年 12月 15日 11:45 我觉得是的，但是我当初学线性代数的小书（本校老师自己写的，非数学专业学的）上没有说。

后来就一直不知道，因为再没有机会系统学习一下线性代数了。

你常说的SVD就是你要的分解

FoxMe

属实，反射和旋转都可用正交矩阵表示。

Caravel · 帖子由 **Caravel** » 2022年 12月 15日 15:59

感觉不全，还有平移，群论里面有GL（V）的分解定理么

verdelite · 帖子由 **verdelite楼主** » 2022年 12月 15日 16:08

YWY 写了： 2022年 12月 15日 12:35 你常说的SVD就是你要的分解

看着像是对的

verdelite · 帖子由 **verdelite楼主** » 2022年 12月 15日 16:09

Caravel 写了： 2022年 12月 15日 15:59 感觉不全，还有平移，群论里面有GL（V）的分解定理么

平移不是线性变换（似乎向量空间里没这个东西）

YWY

Caravel 写了： 2022年 12月 15日 15:59 感觉不全，还有平移，群论里面有GL（V）的分解定理么

线性变换保持原点不动。

（实数）域上每个可逆矩阵都可通过初等变换转化成单位矩阵，就是说每个可逆矩阵都都是初等矩阵的乘积。

TheMatrix · 帖子由 **TheMatrix** » 2022年 12月 15日 16:26

verdelite 写了： 2022年 12月 15日 16:09 平移不是线性变换（似乎向量空间里没这个东西）

平移是仿射变换（affine transformation）。

仿射空间就是线性空间不考虑原点。仿射变换就是线性空间的变换再加平移。

有了度量之后，平移和旋转都是保度量的。

（ヅ） · 帖子由 **（ヅ）** » 2022年 12月 15日 16:33

YWY 写了： 2022年 12月 15日 12:35 你常说的SVD就是你要的分解

正解, A = U\Sigma V。U,V正交矩阵，为旋转和反射的乘积。\Sigma对角阵为缩放

TheMatrix · 帖子由 **TheMatrix** » 2022年 12月 15日 16:37

（ヅ）写了： 2022年 12月 15日 16:33 正解, A = U\Sigma V。U,V正交矩阵，为旋转和反射的乘积。\Sigma对角阵为缩放

对角矩阵每个对角元素不同的话，是什么缩放？

（ヅ） · 帖子由 **（ヅ）** » 2022年 12月 15日 16:40

TheMatrix 写了： 2022年 12月 15日 16:37 对角矩阵每个对角元素不同的话，是什么缩放？

对不同方向上的缩放，不是k*I这种在所有方向上等长缩放

没毛病

Caravel · 帖子由 **Caravel** » 2022年 12月 15日 17:27

YWY 写了： 2022年 12月 15日 16:09 线性变换保持原点不动。

（实数）域上每个可逆矩阵都可通过初等变换转化成单位矩阵，就是说每个可逆矩阵都都是初等矩阵的乘积。

无穷维空间呢？

新未名空间