x^x=y^y (x>y>0) 的有理数解(x,y)都有哪些？

[greenspring]

如果有无穷多组解，通项公式怎么表达？

[hhcare]

这属于变态吧

[greenspring]

(1/2,1/4) 就可以啊

[一代经典]

有答案吗？

[blackcat]

Deepseek 解题

[苍井吱]

Deepseek 解题

怎么证明所有的有理数解都被表示成这个参数化形式啊？

[greenspring]

let y=kx 0<k<1, k€Q
x^x = (kx) ^(kx)

x ln x = kx ln(kx)

ln x = k (lnk + ln x)

ln x = k lnk /(1-k) = ln k^(k/(1-k))

x = k^ (k/(1-k))
y= kx = k^ (1/(1-k))

let k =p/q (0<p<q, p,q€Z)

x= (p/q)^(p/(q-p))

x € Q, then p/(q-p) must be positive integer
q-p | p
let q-p = s, p= ms, m,s€Z+
q=(m+1)s

Then:
x= (m/(m+1))^m, y= (m/(m+1))^(m+1), m€Z+

怎么证明所有的有理数解都被表示成这个参数化形式啊？

[苍井吱]

x € Q, then p/(q-p) must be positive integer

这一步是不是有点问题 (1/4)^{1/2} = 1/2

[greenspring]

x= (p/q)^(p/(q-p))

p=1, q=4，就是(1/4)^(1/3) 而不会出现(1/4)^(1/2)的可能

这里p/q是最简分数，p/q本身如果是一个有理数的q-p次方，q-p只能是1。

这一步是不是有点问题 (1/4)^{1/2} = 1/2

[苍井吱]

x= (p/q)^(p/(q-p))

p=1, q=4，就是(1/4)^(1/3) 而不会出现(1/4)^(1/2)的可能

这里p/q是最简分数，p/q本身如果是一个有理数的q-p次方，q-p只能是1。

谢谢，我回头想想

[san721]

"x € Q, then p/(q-p) must be positive integer"

这里有gap，但补全证明倒也不难。首先，在你let k=p/q时应该假设p/q是reduced。因为 (p, q)=1，有整数 r，s 使得rp+sq=1. 所以
x^r*y^s=(p/q)^(1/(q-p))是有理数。Now, we need to show that q-p=1. Assume that d=q-p>1, then from the fact that (p,q)=1, there are integers B>A>0 such that q=B^d and p=A^d. By Binomial formula, we get

d=B^d-A^d\geq (A+1)^d- A^d>A^d+d*A^(d-1)-A^d=d*A^(d-1)\geq d.

这是不可能的，所以必须有d=1。