找多个矩阵的共同不变子空间有没有什么经典算法？

[TheMatrix]

另外，如果预先知道了不变子空间的维度了，应该有所帮助吧？

[YWY]

我（个人）感觉一个矩阵都很难找。。。当然我是外行。。。

[Caravel]

求eigen value可以吧，eigen value相同的就是不变子空间

[TheMatrix]

我（个人）感觉一个矩阵都很难找。。。当然我是外行。。。

算eigenvalue和eigen space可以找一个矩阵的不变子空间。

[TheMatrix]

求eigen value可以吧，eigen value相同的就是不变子空间

对。找一个矩阵的可以。但是找多个的就不好办。

我这个问题也是从群表示论中来 - 要整个群共同的不变子空间。

regular representation和character table可以帮助很大，但是还是存在这个找不变子空间的问题，我觉得。

[FoxMe]

之前我问过一个相关的问题：矩阵的约当标准型和不变子空间是什么关系？

正规矩阵能酉对角化，即特征分解；
什么矩阵能相似对角化？判断比较麻烦。
一般矩阵只能相似于约当标准型，看上去像是一些不变子空间的直和（分块对角矩阵）。

[YWY]

对。找一个矩阵的可以。但是找多个的就不好办。

我这个问题也是从群表示论中来 - 要整个群共同的不变子空间。

regular representation和character table可以帮助很大，但是还是存在这个找不变子空间的问题，我觉得。

有这个定理：如果两个方阵A和B可交换（AB = BA），那么A的特征空间一定是B的不变子空间。多个矩阵的话，如果方阵A和所有B_i可交换（AB_i = B_iA for all i），那么A的特征空间一定是所有B_i的不变子空间。

[civicrotorlevel]

用出猎司机分解

[TheMatrix]

用出猎司机分解

英文名叫什么？

[civicrotorlevel]

英文名叫什么？

Cholesky decomposition 哈哈蠢瞎说的，以前上课就学的这些分解。还记得Schur decomposition

[TheMatrix]

有这个定理：如果两个方阵A和B可交换（AB = BA），那么A的特征空间一定是B的不变子空间。多个矩阵的话，如果方阵A和所有B_i可交换（AB_i = B_iA for all i），那么A的特征空间一定是所有B_i的不变子空间。

这个能简化一些。

我可以试试eigenvector分解方法。先找一个矩阵的。再用这个矩阵的eigenvector组合找另一个矩阵的。因为我这个问题有个条件 - 不变子空间的维度是预先知道的。

[FoxMe]

对。找一个矩阵的可以。但是找多个的就不好办。

我这个问题也是从群表示论中来 - 要整个群共同的不变子空间。

regular representation和character table可以帮助很大，但是还是存在这个找不变子空间的问题，我觉得。

猜想：群的正则表示中所有的矩阵在同一个相似变换下，有相同形式的约当标准型（即有大小相等的分块），每一块是一个不可约表示。

[TheMatrix]

Cholesky decomposition 哈哈蠢瞎说的，以前上课就学的这些分解。还记得Schur decomposition

哦。这个是干另一件事情的。

[TheMatrix]

猜想：群的正则表示中所有的矩阵在同一个相似变换下，有相同形式的约当标准型（即有大小相等的分块），每一块是一个不可约表示。

这就是那个 C[G] = Σ End(V_i) 的含义吧？

[YWY]

算eigenvalue和eigen space可以找一个矩阵的不变子空间。

给定一个矩阵，我们都能找到“一些”不变子空间。

但是，怎么能通过“别人”给的限定条件找出“别人”心里想好的不变子空间，我（个人）感觉很难。当然，我还要再说一遍：我是外行，容易知难而退。

[FoxMe]

这就是那个 C[G] = Σ End(V_i) 的含义吧？

是。

[（ヅ）]

之前我问过一个相关的问题：矩阵的约当标准型和不变子空间是什么关系？

正规矩阵能酉对角化，即特征分解；
什么矩阵能相似对角化？判断比较麻烦。
一般矩阵只能相似于约当标准型，看上去像是一些不变子空间的直和（分块对角矩阵）。

这个不麻烦吧
step 1, 算出特征值,顺便算出代数乘数
step 2, 每个不同的特征值检查eigenspace的维数，如果跟代数乘数不同则断言A不可相似对角化
step 3, 所有特征值都检查完了，断言A可以相似对角化

[TheMatrix]

我可以试试eigenvector分解方法。先找一个矩阵的。再用这个矩阵的eigenvector组合找另一个矩阵的。因为我这个问题有个条件 - 不变子空间的维度是预先知道的。

好像不行。这个方法的困难是，一个矩阵并不能按照eigenvalue完全分成一维不变子空间。这里大多数是一个eigenvalue对应好几维的不变子空间。

[Caravel]

好像不行。这个方法的困难是，一个矩阵并不能按照eigenvalue完全分成一维不变子空间。这里大多数是一个eigenvalue对应好几维的不变子空间。

如果能对角化，所有的或者额部分eigen vector span的space都是不变子空间。给定一个子空间，就看别的矩阵乘以这个子空间的基会不会出去。找到那些闭合的基集合就是不变子空间

[YWY]

如果能对角化，所有的或者额部分eigen vector span的space都是不变子空间。给定一个子空间，就看别的矩阵乘以这个子空间的基会不会出去。

一个方阵，无论能不能对角化，其特征空间的子空间都是不变子空间。