我提一个数学猜想，关于（ヅ）提出的方程x / (y + z) + y / (z + x) + z / (x + y）= 4的解的(update: trivial)

[verdelite]

（ヅ）提出了这样一个方程求整数解：x / (y + z) + y / (z + x) + z / (x + y）= 4
viewtopic.php?t=109203

我用python搜索，在-100到100之间就解出几百个。
我发现作为一组解x,y,z，则他们中间有一个数能被11整除。

现在正式提出作为一个数学猜想。

下面的code搜索了-500-500之间所有的解，都符合这个标准。

counter=0
for x in range(-500,500):
    for y in range(-500,500):
         for z in range(-500,500):
           if x*(z+x)*(x+y) + y*(y+z)*(x+y)+z*(y+z)*(z+x)==4*(y+z)*(z+x)*(x+y) and y+z != 0 and z+x != 0 and x+y != 0:
              if any ([x%11 ==0, y%11==0, z%11==0]):
                 counter += 1
                 continue;
              else:
                 print(x,y,z)

print (counter)

这里面搜索到1080个解，都符合这个猜想。

[verdelite]

（ヅ）提出了这样一个方程求整数解：x / (y + z) + y / (z + x) + z / (x + y）= 4
viewtopic.php?t=109203

我用python搜索，在-100到100之间就解出几百个。
我发现作为一组解x,y,z，则他们中间有一个数能被11整除。

现在正式提出作为一个数学猜想。

如果令这个方程右边等于6，再求整数解，那么x,y,x中有一个可以被7整除。

我搜了-300到300之间这样的解700个，都符合关于7的倍数的猜想。

如果另方程右边等于别的数，可能有类似状况（=3,5,7,8,9在-100到100之间没搜到解）

[Caravel]

我看了一下你的这些解，似乎都是最小一组解的倍数，明显这个方程的解x,y,z可以同步scale. 请帮忙验证一下，把解的最小公约数除掉，看看还剩下多少个解。

解还有我说的那个对称性，x,y,z 可以互相对调，不改变结果

-1 4 11
-1 11 4
1 -11 -4
1 -4 -11
4 -1 11
4 11 -1
5 -11 -9
5 -9 -11

[verdelite]

我看了一下你的这些解，似乎都是最小一组解的倍数，明显这个方程的解x,y,z可以同步scale

-1 4 11
-1 11 4
1 -11 -4
1 -4 -11
4 -1 11
4 11 -1
5 -11 -9
5 -9 -11

那意思就不大了。LOL

[Caravel]

那意思就不大了。LOL

还是很有意思的，把对称性case约化掉，似乎只有两个解

4 11 -1
5 -11 -9

[verdelite]

还是很有意思的，把对称性case约化掉，似乎只有两个解

4 11 -1
5 -11 -9

x / (y + z) + y / (z + x) + z / (x + y）= 6的解，似乎也是两个，以及它们的循环和倍数，
...
-14 -46 6
-14 -16 10
-14 6 -46
-14 10 -16
-12 28 92
-12 92 28
-10 14 16
-10 16 14
-9 21 69
-9 69 21
-8 -7 5
-8 5 -7
-7 -23 3
-7 -8 5
-7 3 -23
-7 5 -8
-6 14 46
-6 46 14
-5 7 8
-5 8 7
-3 7 23
-3 23 7
3 -23 -7
3 -7 -23
5 -8 -7
5 -7 -8
6 -46 -14
6 -14 -46
7 -5 8
7 -3 23
7 8 -5
7 23 -3
8 -5 7
8 7 -5
9 -69 -21
9 -21 -69
10 -16 -14
10 -14 -16
12 -92 -28
12 -28 -92
14 -10 16
14 -6 46
14 16 -10
14 46 -6
...

[verdelite]

x / (y + z) + y / (z + x) + z / (x + y）= 6的解，似乎也是两个，以及它们的循环和倍数，
...
-14 -46 6
-14 -16 10
-14 6 -46
-14 10 -16
-12 28 92
-12 92 28
-10 14 16
-10 16 14
-9 21 69
-9 69 21
-8 -7 5
-8 5 -7
-7 -23 3
-7 -8 5
-7 3 -23
-7 5 -8
-6 14 46
-6 46 14
-5 7 8
-5 8 7
-3 7 23
-3 23 7
3 -23 -7
3 -7 -23
5 -8 -7
5 -7 -8
6 -46 -14
6 -14 -46
7 -5 8
7 -3 23
7 8 -5
7 23 -3
8 -5 7
8 7 -5
9 -69 -21
9 -21 -69
10 -16 -14
10 -14 -16
12 -92 -28
12 -28 -92
14 -10 16
14 -6 46
14 16 -10
14 46 -6
...

令x / (y + z) + y / (z + x) + z / (x + y）= k, 我搜寻了k=3-99，

for k in range(3,100):
   for x in range(0,50):
     for y in range(-100,100):
       for z in range(-150,150):
            if x*(z+x)*(x+y) + y*(y+z)*(x+y)+z*(y+z)*(z+x)==k*(y+z)*(z+x)*(x+y) and y+z != 0 and z+x != 0 and x+y != 0:
              print(k,x,y,z)

然后化掉循环和倍数，得到下面的解：
（k,x,y,z)=
4 1 -4 -11
4 5 -9 -11
6 3 -7 -23
6 5 -7 -8
10 7 -9 -19
10 16 -19 -23
14 7 -8 -13
14 37 -33 47
k只有4,6,10,14才有解