找数字

[verdelite]

48是一个奇妙的数字：48+1是一个平方数；48/2+1也是一个平方数。

问：有这个性质的数还有吗？如果没有了，证明之。如果还有，再找三个。如果是无穷的，你能证明吗？

[reknaz]

48是一个奇妙的数字：48+1是一个平方数；48/2+1也是一个平方数。

问：有这个性质的数还有吗？如果没有了，证明之。如果还有，再找三个。如果是无穷的，你能证明吗？

这有什么奇妙的，可以找很多类似这样的 rule，然后数字大多数就奇妙了。比如 6 就是一个奇妙的数字，它 ±1 都是质数，问有这样性质的数是无穷多吗？

[verdelite]

这有什么奇妙的，可以找很多类似这样的 rule，然后数字大多数就奇妙了。比如 6 就是一个奇妙的数字，它 ±1 都是质数，问有这样性质的数是无穷多吗？

你这就是孪生素数猜想，当然奇妙了，张益唐才证明了一个松散的孪生素数猜想就成了大数学家。你可以举别的例子，但是这个例子举反了。

[reknaz]

你这就是孪生素数猜想，当然奇妙了，张益唐才证明了一个松散的孪生素数猜想就成了大数学家。你可以举别的例子，但是这个例子举反了。

为啥说举反了？都是一样类型的嘛。
好吧，3 也是个奇妙的数 +1 是个平方数，—1是个质数，有无穷多这样的数吗？

[verdelite]

为啥说举反了？都是一样类型的嘛。
好吧，3 也是个奇妙的数 +1 是个平方数，—1是个质数，有无穷多这样的数吗？

你这个等价于问“平方数减去2是质数”的数是不是无穷的。估计也是一个重要的猜想，LOL

[reknaz]

你这个等价于问“平方数减去2是质数”的数是不是无穷的。估计也是一个重要的猜想，LOL

是啊，这种 rule 可以各种变化揉捏。所以我觉得猜想能坐大需要本身表述简洁有美感。

[TheMatrix]

48是一个奇妙的数字：48+1是一个平方数；48/2+1也是一个平方数。

问：有这个性质的数还有吗？如果没有了，证明之。如果还有，再找三个。如果是无穷的，你能证明吗？

这是个二次方程。我最近在研究（玩）三次方程。靠上谱了。charted map。

x+1=y²
x/2 +1=z²

得到
y²=2z²-1

这是个Pell方程。有无穷多整数解。

[TheMatrix]

你这个等价于问“平方数减去2是质数”的数是不是无穷的。估计也是一个重要的猜想，LOL

对。这是个重要猜想。x²-2是不是有无穷多质数 - 而且是open的。我也奇怪，这么一个小东西还是open的。

这个事情wsnren总结过。除了一次的这种表达式，5x+3这种，被证明了（Dirichlet），二次和以上的都没有被证明。

[TheMatrix]

这是个二次方程。我最近在研究（玩）三次方程。靠上谱了。charted map。

x+1=y²
x/2 +1=z²

得到
y²=2z²-1

这是个Pell方程。有无穷多整数解。

这个问题具体的解法是：
2z²-y²=1
(√2 z+y)(√2 z-y)=1

再带入一个具体的解：
2*5²-7²=1
(√2 5+7)(√2 5-7)=1
n次方：(√2 5+7)ⁿ(√2 5-7)ⁿ=1

然后让factor分别相等：
(√2 z+y) = (√2 5+7)ⁿ
(√2 z-y) = (√2 5-7)ⁿ

可以解出来y和z的表达式。这是一族。还有其他族。

[YWY]

是啊，这种 rule 可以各种变化揉捏。所以我觉得猜想能坐大需要本身表述简洁有美感。

你说的不错，但又似乎给人一种把万事简单化的感觉。按你的思路，哥德巴赫猜想也没啥稀奇的，呵呵。不过数学（特别是数论）里，确实很多猜想（问题）似乎纯粹是为了满足数学家们自己的好奇心，为了解决问题而解决问题。但话又说回来，这种纯粹的好奇心也会无意间开启破解宇宙的密码。其实也不仅是数学，所有学科，其实都是在“无目的”的积累有用的或无用的“知识”。若干年后，很多当时看起来“无用的”知识可能会变成科学皇冠上的珍珠。我瞎说着玩儿的，呵呵。

不多说了，看下面这个3x+1猜想，谁都能看懂，但至今还无人能够证明。

[FGH]

要解x^2-2y^2=-1，等价于(x+y\sqrt 2)(x-y\sqrt 2)=-1
考虑展开(\sqrt 2 +1)^n(\sqrt 2-1)^n=1。
如果n是奇数，两个因子分别是x+y\sqrt 2和-x+y\sqrt 2 的形式。
取n偶数，就会得到x^2-2y^2=1的解。

[YWY]

要解x^2-2y^2=-1，等价于(x+y\sqrt 2)(x-y\sqrt 2)=-1
考虑展开(\sqrt 2 +1)^n(\sqrt 2-1)^n=1。
如果n是奇数，两个因子分别是x+y\sqrt 2和-x+y\sqrt 2 的形式。
取n偶数，就会得到x^2-2y^2=1的解。

赞！

[verdelite]

好吧，大家这么厉害，再找三个解吧。不会需要我祭出大蛇吧

[meiyoumajia]

这个问题具体的解法是：
2z²-y²=1
(√2 z+y)(√2 z-y)=1

再带入一个具体的解：
2*5²-7²=1
(√2 5+7)(√2 5-7)=1
n次方：(√2 5+7)ⁿ(√2 5-7)ⁿ=1

然后让factor分别相等：
(√2 z+y) = (√2 5+7)ⁿ
(√2 z-y) = (√2 5-7)ⁿ

可以解出来y和z的表达式。这是一族。还有其他族。

很好！
n取奇数


对（1，1）和其它仍然没有被覆盖的特殊解，用此法可以一直找，而得出更多的族。

[verdelite]

大蛇来了：

squares=set(item * item for item in range(10000))
print([2*item for item in range(10000000) if 2*item+1 in squares and item+1 in squares])
[0, 48, 1680, 57120, 1940448]

[meiyoumajia]

。

[TheMatrix]

很好！
n取奇数


对（1，1）和其它仍然没有被覆盖的特殊解，用此法可以一直找，而得出更多的族。

嗯，对。只有n取奇数才能得到整数解。

[meiyoumajia]

由任何特殊解（s,t）都可找到与其相应的一个解族

（5.7）与（1，1）正好是3次方关系
因此（1.1）族完全覆盖了（5.7）族

满足的数之间“距离”非常大
还不容易看出（1，1）是否覆盖了全部解



n/2 +1 = x^2
n + 1 = y^2

one speical solution:
s t
1 1

generated solutions from (1,1):
n x y
0 1 1
48 5 7
1680 29 41
57120 169 239
1940448 985 1393
65918160 5741 8119
2239277040 33461 47321
76069501248 195025 275807
2584123765440 1136689 1607521
87784138523760 6625109 9369319
2.98208E+15 38613965 54608393
1.01303E+17 225058681 318281039
3.44131E+18 1311738121 1855077841
1.16903E+20 7645370045 10812186007
3.97127E+21 44560482149 63018038201
1.34906E+23 259717522849 367296043199
4.58285E+24 1513744654945 2140758220993
1.55682E+26 8822750406821 12477253282759
5.2886E+27 51422757785981 72722761475561
1.79657E+29 299713796309065 423859315570607

[verdelite]

由任何特殊解（s,t）都可找到与其相应的一个解族

（5.7）与（1，1）正好是3次方关系
因此（1.1）族完全覆盖了（5.7）族

满足的数之间“距离”非常大
还不容易看出（1，1）是否覆盖了全部解



n/2 +1 = x^2
n + 1 = y^2

one speical solution:
s t
1 1

generated solutions from (1,1):
n x y
0 1 1
48 5 7
1680 29 41
57120 169 239
1940448 985 1393
65918160 5741 8119
2239277040 33461 47321
76069501248 195025 275807
2584123765440 1136689 1607521
87784138523760 6625109 9369319
2.98208E+15 38613965 54608393
1.01303E+17 225058681 318281039
3.44131E+18 1311738121 1855077841
1.16903E+20 7645370045 10812186007
3.97127E+21 44560482149 63018038201
1.34906E+23 259717522849 367296043199
4.58285E+24 1513744654945 2140758220993
1.55682E+26 8822750406821 12477253282759
5.2886E+27 51422757785981 72722761475561
1.79657E+29 299713796309065 423859315570607

乖乖，这就超过大蛇的能力了，LOL

[FGH]

要解x^2-2y^2=-1，等价于(x+y\sqrt 2)(x-y\sqrt 2)=-1
考虑展开(\sqrt 2 +1)^n(\sqrt 2-1)^n=1。
如果n是奇数，两个因子分别是x+y\sqrt 2和-x+y\sqrt 2 的形式。
取n偶数，就会得到x^2-2y^2=1的解。

可以证明没有其它解。只需要证明下面命题。
如果|a^2-2b^2|=1，那么
(a+b\sqrt 2)=(1+\sqrt 2)^n.
证明：用归纳法，对a+b。如果a+b=1，显然。
一般情况，首先知道b<a<2b，除非b=0。然后展开
(a+b\sqrt 2)(\sqrt 2-1)=(2b-a)+(a-b)\sqrt 2.
注意到(2b-a)+(a-b)=b<a+b。由归纳假设得到
(2b-a)+(a-b)\sqrt 2=(\sqrt 2+1)^m.
所以，
a+b\sqrt 2=(\sqrt 2+1)^{m+1}.