雕刻家的立方体墩子问题。你们平方的都会弄了，这次来个立方的。

[verdelite]

国王请雕刻家提供两个雕像的墩子，一大一小，都是立方体的。

到了交钱的时候，大家发现忘了说大小是边长还是体积。合同里面说把两个墩子的大小相加，按照那个数字给钱。那么是加边长，还是加体积呢？

后来一测量，发现不需要争吵了。因为，加边长和加体积，结果是一样的（当然了，当地人测量有一个固定的单位。单位b变一下结果会变化，当然了。这题假定单位是固定的，转变为一个纯数字问题。不是物理题啊，在物理里面，边长是不可以等于体积的）。就是，a+b=a^3+b^3

问：找到最小有理数解？所有有理数解？

[TheMatrix]

国王请雕刻家提供两个雕像的墩子，一大一小，都是立方体的。

到了交钱的时候，大家发现忘了说大小是边长还是体积。合同里面说把两个墩子的大小相加，按照那个数字给钱。那么是加边长，还是加体积呢？

后来一测量，发现不需要争吵了。因为，加边长和加体积，结果是一样的（当然了，当地人测量有一个固定的单位。单位一下以下结果会变化，当然了。这题假定单位是固定的，转变为一个纯数字问题。不是物理题啊，在物理里面，边长是不可以等于体积的）。就是，a+b=a^3+b^3

问：找到最小有理数解？所有有理数解？

只能在(0,1)之间。哦不对。一个在(0,1)之间，另一个大于1。

[YWY]

国王请雕刻家提供两个雕像的墩子，一大一小，都是立方体的。

到了交钱的时候，大家发现忘了说大小是边长还是体积。合同里面说把两个墩子的大小相加，按照那个数字给钱。那么是加边长，还是加体积呢？

后来一测量，发现不需要争吵了。因为，加边长和加体积，结果是一样的（当然了，当地人测量有一个固定的单位。单位b变一下结果会变化，当然了。这题假定单位是固定的，转变为一个纯数字问题。不是物理题啊，在物理里面，边长是不可以等于体积的）。就是，a+b=a^3+b^3

问：找到最小有理数解？所有有理数解？

Assume a > 0 and b > 0. Then a + b = a^3 + b^3 iff a^2 - ab + b^2 = 1 iff (a - b/2)^2 + 3(b/2)^2 = 1. After changing variables, we need to find rational solutions of x^2 + 3y^2 = 1 (other than x = y = 1/2). By clearing the denominators, this is equivalent to finding integer solutions of x^2 + 3y^2 = z^2 (other than the obvious cases x = y).

我只能想这么多，接下来怎么找，x^2 + 3y^2 = z^2到底有没有（非平凡）整数解，我就不知道了。

[TheMatrix]

Assume a > 0 and b > 0. Then a + b = a^3 + b^3 iff a^2 - ab + b^2 = 1 iff (a - b/2)^2 + 3(b/2)^2 = 1. After changing variables, we need to find rational solutions of x^2 + 3y^2 = 1 (other than x = y = 1/2). By clearing the denominators, this is equivalent to finding integer solutions of x^2 + 3y^2 = z^2 (other than the obvious cases x = y).

我只能想这么多，接下来怎么找，x^2 + 3y^2 = z^2到底有没有（非平凡）整数解，我就不知道了。

有无穷多非平凡整数解。比如x=11，y=5，z=14.

这个比Pell方程容易。Pell方程不是齐次的，这个是齐次的。

[YWY]

有无穷多非平凡整数解。比如x=11，y=5，z=14.

这个比Pell方程容易。Pell方程不是齐次的，这个是齐次的。

这个能不能和群环域的结构挂上钩？

[yilou]

通解，对任意x，y，可以生成如下a，b：
[a,b] = [(x²-y²)/(x²-xy+y²), (2xy-y²)/(x²-xy+y²)]

比如x=3,y=1 => a=8/7,b=5/7:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%5 ... nd+y+%3D+1

简单来说，通解可以利用Z[ω]推出，a+b*ω去除分母以后必须是Z[ω]里的平方数，所以：
a+b*ω= (x+y*ω)²/Norm(x+y*ω) where ω² + ω + 1 = 0

国王请雕刻家提供两个雕像的墩子，一大一小，都是立方体的。

到了交钱的时候，大家发现忘了说大小是边长还是体积。合同里面说把两个墩子的大小相加，按照那个数字给钱。那么是加边长，还是加体积呢？

后来一测量，发现不需要争吵了。因为，加边长和加体积，结果是一样的（当然了，当地人测量有一个固定的单位。单位b变一下结果会变化，当然了。这题假定单位是固定的，转变为一个纯数字问题。不是物理题啊，在物理里面，边长是不可以等于体积的）。就是，a+b=a^3+b^3

问：找到最小有理数解？所有有理数解？

[TheMatrix]

这个能不能和群环域的结构挂上钩？

这个不知道。

[verdelite]

通解，对任意x，y，可以生成如下a，b：
[a,b] =
[(x^2-y^2)/(x^2-xy+y^2),
(2xy-y^2)/(x^2-xy+y^2)]

比如x=3,y=1 => a=8/7,b=5/7:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%5 ... nd+y+%3D+1

简单来说，通解可以写为：
a+b*ω= (x+y*ω)²/Norm(x+y*ω) where ω² + ω + 1 = 0

你们太历害了，通解都搞出来了。
这儿数学家多，但是缺少物理学家，感觉有点孤独。

[san721]

国王请雕刻家提供两个雕像的墩子，一大一小，都是立方体的。

到了交钱的时候，大家发现忘了说大小是边长还是体积。合同里面说把两个墩子的大小相加，按照那个数字给钱。那么是加边长，还是加体积呢？

后来一测量，发现不需要争吵了。因为，加边长和加体积，结果是一样的（当然了，当地人测量有一个固定的单位。单位b变一下结果会变化，当然了。这题假定单位是固定的，转变为一个纯数字问题。不是物理题啊，在物理里面，边长是不可以等于体积的）。就是，a+b=a^3+b^3

问：找到最小有理数解？所有有理数解？

如果是不记得求体积时是底面积a^2乘以高，还是整成加高了呢？a^3+b^3=a^2+b^2+a+b?

[TheMatrix]

如果是忘了说表面积还是体积呢？a^3+b^3=6(a^2+b^2)?或者测了边长忘了自己求体积时是平方还是立方了，a^3+b^3=a^2+b^2?

那就难了。原问题两边除以(a+b)之后变成了二次方程。变不成二次方程的话就难了。

[san721]

那就难了。原问题两边除以(a+b)之后变成了二次方程。变不成二次方程的话就难了。

不难，太简单了。所以我刚换成a^3+b^3=a^2+b^2+a+b了。

[TheMatrix]

不难，太简单了。所以我刚换成a^3+b^3=a^2+b^2+a+b了。

a^3+b^3=a^2+b^2
这个不难？怎么解？

[TheMatrix]

a^3+b^3=a^2+b^2
这个不难？怎么解？

哦。这个可以这样解。

先变成齐次：
a³+b³=a²c+b²c

设a=1：
1+b³=c+b²c

解出c：
c = (1+b³)/(1+b²)

然后代入任意整数b，得到一个有理数c。(a=1,b,c)就是一组解。

再scale一下，把c变成1，就得到(a,b)的有理数解。

[san721]

a^3+b^3=a^2+b^2
这个不难？怎么解？

这破网，提交后才发现没成功，得重写。

a^3+b^3=a^2+b^2比a^3+b^3=a+b简单多了。Let b=at. There is an 1-to-1 correspondence between positive rational pairs (a,b) and (a,t) under this mapping. Note that the original equation becomes a^3(t^3+1)=a^2(t^2+1) which gives a=(t^2+1)/(t^3+1). With t running over positive rational numbers, (a,b)=((t^2+1)/(t^3+1),t(t^2+1)/(t^3+1)) yields all possible rational solutions to the original equation.

[TheMatrix]

这破网，提交后才发现没成功，得重写。

a^3+b^3=a^2+b^2比a^3+b^3=a+b简单多了。Let b=at. There is an 1-to-1 correspondence between positive rational pairs (a,b) and (a,t) under this mapping. Note that the original equation becomes a^3(t^3+1)=a^2(t^2+1) which gives a=(t^2+1)/(t^3+1). With t running over positive rational numbers, (a,b)=((t^2+1)/(t^3+1),t(t^2+1)/(t^3+1)) yields all possible rational solutions to the original equation.

I beat you to the solution posted.

[san721]

I beat you to the solution posted.

[FoxMe]

通解，对任意x，y，可以生成如下a，b：
[a,b] = [(x²-y²)/(x²-xy+y²), (2xy-y²)/(x²-xy+y²)]

比如x=3,y=1 => a=8/7,b=5/7:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%5 ... nd+y+%3D+1

简单来说，通解可以利用Z[ω]推出，a+b*ω去除分母以后必须是Z[ω]里的平方数，所以：
a+b*ω= (x+y*ω)²/Norm(x+y*ω) where ω² + ω + 1 = 0

这个方法很好！利用了虚二次域(Eisenstein field)。

用同样的方法，也容易到佩尔方程x^2-py^2=1的有理解，这里是实二次域。但是其整数解却较难求，这是为啥？我以为求有理解和整数解的难度是一样的（等效），看来不对。

[FoxMe]

哦。这个可以这样解。

先变成齐次：
a³+b³=a²c+b²c

设a=1：
1+b³=c+b²c

解出c：
c = (1+b³)/(1+b²)

然后代入任意整数b，得到一个有理数c。(a=1,b,c)就是一组解。

再scale一下，把c变成1，就得到(a,b)的有理数解。

妙！方程齐次化这个技术可以干什么事情？

[TheMatrix]

妙！方程齐次化这个技术可以干什么事情？

最近我在研究这个技术。我觉得这个技术主要是求有理数解用的。

一个非齐次方程，求整数解和求有理数解方法不一样。求有理数解，就把它加一个变量，齐次化，然后在高一维空间中考虑线性变换，找到一种方程的简单的形式，再把一个变量设为1，又降回原来的维度，但是方程简化了。我觉得这是它的用途。

非齐次方程求整数解的话，完全是另外的方法了，我觉得难一些。

[TheMatrix]

通解，对任意x，y，可以生成如下a，b：
[a,b] = [(x²-y²)/(x²-xy+y²), (2xy-y²)/(x²-xy+y²)]

比如x=3,y=1 => a=8/7,b=5/7:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%5 ... nd+y+%3D+1

简单来说，通解可以利用Z[ω]推出，a+b*ω去除分母以后必须是Z[ω]里的平方数，所以：
a+b*ω= (x+y*ω)²/Norm(x+y*ω) where ω² + ω + 1 = 0

这个是二次方程，还可以这样解：
原方程除以(a+b)之后变成：
a²-ab+b²=1
观察得到一个整数解(1,1)。

然后过该点做斜率为有理数的直线，该直线与曲线的另一交点也是一个有理解。而且任意有理解都可以这样得到。那么设这个斜率m=p/q，两个整数相除。把另一个交点的坐标用p和q表示出来。这也是通解。结果应该和你的一样。