新未名空间

TheMatrix 写了： 2024年 10月 1日 13:47 不过可以先不管这些问题。继续往下走。

就到了derived functor，和sheaf cohomology了。

derived functor形式化看起来是合理的，但是比较抽象。

derived functor 分 right derived functor 和 left derived functor。我们看right derived functor。Left derived functor 从 category的角度看是right derived functor 的 dual。

right derived functor是对一个 left exact functor F而言的。left exact functor 就是它保持injection但是不保持surjection。所以假设在C中有一个long exact sequence:

0 --> M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

用了left exact functor F之后，到了category D中，有：

0 --> F(M₁) --> F(M₂) --> F(M₃) --> ...

只有第一个节点是 exact 的，也就是injection。后面的节点都不再是 exact的了。

但是，仍然有 dd=0，也就是相邻的两个morphism合成等于0。因为 dd=0 ==> F(dd)=F(d)F(d)=0。

所以category C中的 long exact sequence，到了 category D中，变成了chain complex。

这样就可以求cohomology，Hⁿ= kernel(F(d): F(M_n) --> F(M_n+1)) / image (F(d): F(M_n-1) --> F(M_n))。

每一个Hⁿ，是从C出发的一个functor，和F有关，叫F的 right derived functor。是一系列functor。

TheMatrix 写了： 2024年 10月 3日 11:59 derived functor形式化看起来是合理的，但是比较抽象。

derived functor 分 right derived functor 和 left derived functor。我们看right derived functor。Left derived functor 从 category的角度看是right derived functor 的 dual。

right derived functor是对一个 left exact functor F而言的。left exact functor 就是它保持injection但是不保持surjection。所以假设在C中有一个long exact sequence:

0 --> M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

用了left exact functor F之后，到了category D中，有：

0 --> F(M₁) --> F(M₂) --> F(M₃) --> ...

只有第一个节点是 exact 的，也就是injection。后面的节点都不再是 exact的了。

但是，仍然有 dd=0，也就是相邻的两个morphism合成等于0。因为 dd=0 ==> F(dd)=F(d)F(d)=0。

所以category C中的 long exact sequence，到了 category D中，变成了chain complex。

这样就可以求cohomology，Hⁿ= kernel(F(d): F(M_n) --> F(M_n+1)) / image (F(d): F(M_n-1) --> F(M_n))。

每一个Hⁿ，是从C出发的一个functor，和F有关，叫F的 right derived functor。是一系列functor。

所以derived functor就是cohomology functor，求出来是一系列，不是一个。

这个过程和两个东西有关：

一个是C category中的long exact sequence
0 --> M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

一个是F 这个left exact functor。

C中的long exact sequence，如果是从第一个object中发展出来的，那么就只和第一个object有关：

0 --> M --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...

这叫injective resolution.

如果M是一个module的话，后面的I_n都是injective module。这是一些具有特定性质的module。这还是比较具体的。

如果M是一个sheaf的话，也就是在Sheaf category里考虑这个injective resolution，后面的I_n都是injective sheaf。这就比较抽象了。这都是Grothendieck搞出来的。

整个这个机制逻辑上比较清晰，而且具有非常高的通用性 - 到处都可以用同一个机制来解释。但就是太抽象。

TheMatrix 写了： 2024年 10月 3日 14:21 所以derived functor就是cohomology functor，求出来是一系列，不是一个。

这个过程和两个东西有关：

一个是C category中的long exact sequence
0 --> M₁ --> M₂ --> M₃ --> ...

一个是F 这个left exact functor。

C中的long exact sequence，如果是从第一个object中发展出来的，那么就只和第一个object有关：

0 --> M --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...

这叫injective resolution.

如果M是一个module的话，后面的I_n都是injective module。这是一些具有特定性质的module。这还是比较具体的。

如果M是一个sheaf的话，也就是在Sheaf category里考虑这个injective resolution，后面的I_n都是injective sheaf。这就比较抽象了。这都是Grothendieck搞出来的。

整个这个机制逻辑上比较清晰，而且具有非常高的通用性 - 到处都可以用同一个机制来解释。但就是太抽象。

Injective resolution
0 --> M --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...
要有唯一性，而且只和M有关。这样才能说这是对M的研究。

再加上F这个left exact functor。可以说derived functor是对M和F的研究。和这两个都有关。

Injective resolution确实具有唯一性，up to 后面得出的cohomology group。

从构建上，也有唯一性，或者叫canonical的方法，也就是有步骤的。

比如在module的情况下，有injective module的概念。Injective module 就是一个module I，对于任意一个module-submodule pair A ⊆ B，任意 homomorphism A --> I 都能扩展到 B --> I，这样的module就叫 injective module。

有点像algebraic closure的概念。任意一个field都有algebraic closure。任意一个module M，都能找到一个injective module I，使M是I的submodule。也可以说I是M的injective closure。

这样找到之后，就有了第一个箭头： 0 --> M --> I₀。

然后做quotient，I₀/M，看这个quotient module是不是injective module。如果不是，再找它的injective closure。这样这个链条就延申下去了。如果这个quotient module本身就是injective module，那么这个链条就停止了。

TheMatrix 写了： 2024年 10月 3日 16:51 Injective resolution
0 --> M --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...
要有唯一性，而且只和M有关。这样才能说这是对M的研究。

再加上F这个left exact functor。可以说derived functor是对M和F的研究。和这两个都有关。

Injective resolution确实具有唯一性，up to 后面得出的cohomology group。

从构建上，也有唯一性，或者叫canonical的方法，也就是有步骤的。

比如在module的情况下，有injective module的概念。Injective module 就是一个module I，对于任意一个module-submodule pair A ⊆ B，任意 homomorphism A --> I 都能扩展到 B --> I，这样的module就叫 injective module。

有点像algebraic closure的概念。任意一个field都有algebraic closure。任意一个module M，都能找到一个injective module I，使M是I的submodule。也可以说I是M的injective closure。

这样找到之后，就有了第一个箭头： 0 --> M --> I₀。

然后做quotient，I₀/M，看这个quotient module是不是injective module。如果不是，再找它的injective closure。这样这个链条就延申下去了。如果这个quotient module本身就是injective module，那么这个链条就停止了。

有步骤就叫canonical。一步一步来，出来啥就是啥。

在module的情况下，还是比较具体的。

但是在sheaf的情况下，一个sheaf本身就是一个functor，已经不是一个object了，是一个functor。一个functor再作为object，这么一个东西。要找到它的injective resolution。也就是，

0 --> S --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...

S是我们要研究的sheaf。I_n每一个都是injective sheaf。

我觉得抽象得很。不知道怎么搞出来。

TheMatrix 写了： 2024年 10月 3日 16:59 有步骤就叫canonical。一步一步来，出来啥就是啥。

在module的情况下，还是比较具体的。

但是在sheaf的情况下，一个sheaf本身就是一个functor，已经不是一个object了，是一个functor。一个functor再作为object，这么一个东西。要找到它的injective resolution。也就是，

0 --> S --> I₀ --> I₁ --> I₂ --> I₃ --> ...

S是我们要研究的sheaf。I_n每一个都是injective sheaf。

我觉得抽象得很。不知道怎么搞出来。

先不管。接下来看看Etale是怎么搞出来的sheaf。

嗯。看起来这个sheaf cohomology确实不需要topology，只要有一个sheaf就行。然后走injective resolution，再加一个left exact functor，就可以得到right derived functor，也就是cohomology了。

sheaf/scheme这些东西太抽象，我看了又忘了，等于白学。homology/cohomology这些有点感觉了，学了能用上，就能逐步掌握。

上面说scheme spec(F_q)是啥意思？spec(F_q)是个scheme吗？F_q有啥prime ideal? ideal只有{0}和它自己

TheMatrix 写了： 2024年 9月 29日 09:08 主要是covering这个地方没懂。

传统topology是定义一套open set。虽然有covering这个概念，但covering本身并不是open set。

看来etale topology并不是定义一套新的open set以得到传统的topology，而是以第二步为目标，能输入sheaf，就成功了。

所以还得直接看怎么搞出的sheaf。

一到scheme这里，就迷失了。variety很具体，但是scheme是啥？抓不住

Difference Between Schemes and Varieties
Varieties are typically defined over fields and represent more classical geometric objects (like curves, surfaces, etc.). Varieties are a special case of schemes where the ring is a field.
Schemes generalize varieties to work over any commutative ring, not just fields. They allow for "singular" spaces and spaces over more general bases (e.g., over rings of integers), making them a more flexible and general concept.