Sheaf and Functor demystified

[forecasting]

给出椭圆函数曲线$$ y^2= x^3-2x+5 $$，列出其素理想/代数集，构造其全局环层，列举几个开集所对应的局部环层，并且验证这些是否符合概形的定义。

[TheMatrix]

给出椭圆函数曲线$$ y^2= x^3-2x+5 $$，列出其素理想/代数集，构造其全局环层，列举几个开集所对应的局部环层，并且验证这些是否符合概形的定义。

你是说椭圆曲线$$ y^2= x^3-2x+5 $$的coordinate ring的素理想吧？

[forecasting]

怎么理解都可以，就是推进那个小纲要，让这个版面别太冷清了。

[TheMatrix]

怎么理解都可以，就是推进那个小纲要，让这个版面别太冷清了。

那比如说取 R₀ = Z[X,Y] 或者 Q[X,Y]。

椭圆曲线 y^2= x^3-2x+5 的coordinate ring 是 R=R₀/(f)，f=x^3-2x+5-y^2。

先考虑 Q[X,Y] 吧。Z[X,Y] 可能比较麻烦。

R的素理想有哪些？你列一下？

[forecasting]

那比如说取 R₀ = Z[X,Y] 或者 Q[X,Y]。

椭圆曲线 y^2= x^3-2x+5 的coordinate ring 是 R=R₀/(f)，f=x^3-2x+5-y^2。

先考虑 Q[X,Y] 吧。Z[X,Y] 可能比较麻烦。

R的素理想有哪些？你列一下？

列不出来，咋办？在每个素点上取模，看有限域上这多项式的零点集/代数集/理想吧，然后凑起来？有啥办法凑?无限多个素数。

[forecasting]

谁来解几个$$ y^2= x^3-2x+5 (mod p) $$， p是素数？

[forecasting]

说说，为啥 $$ 𝑘[𝑥,𝑦]/(y^2-x^3+2x-5 ) $$当作坐标环？

[TheMatrix]

列不出来，咋办？在每个素点上取模，看有限域上这多项式的零点集/代数集/理想吧，然后凑起来？有啥办法凑?无限多个素数。

等一下。咱俩的想法似乎不一样。

啥叫每个素点上取模？你似乎想的是椭圆曲线 y^2= x^3-2x+5 (mod p)。相当于 F=Z/pZ，然后在 F² 空间考虑这个多项式的零点集。相当于在 R=F[X,Y] ring上考虑这个多项式。这和sheaf/scheme有啥关系？

我想的是，把椭圆曲线 E = {y^2= x^3-2x+5} over Q 的点集作为一个空间。把它和 R=Q[X,Y]/(f) 这个ring做一个对应。E上的点对应于R的spectrum。

看看怎么往下走。

[TheMatrix]

说说，为啥 $$ 𝑘[𝑥,𝑦]/(y^2-x^3+2x-5 ) $$当作坐标环？

我的理解中，variety 进化到 scheme 是通过 coordinate ring。分两步：

1，k²空间的 variety，也就是 f ∈ k[x,y] 在 k² 中的零点。variety上有coodinate ring，就是 R=k[x,y]/(f)。Spec(R)和variety基本上有一一对应的关系，也就是R的一个prime ideal对应于variety上的一个点。

2，抽象化之后，直接考虑一个ring R。直接做 Spec(R)，作为一个拓扑空间。这就是scheme。

[forecasting]

等一下。咱俩的想法似乎不一样。

啥叫每个素点上取模？你似乎想的是椭圆曲线 y^2= x^3-2x+5 (mod p)。相当于 F=Z/pZ，然后在 F² 空间考虑这个多项式的零点集。相当于在 R=F[X,Y] ring上考虑这个多项式。这和sheaf/scheme有啥关系？

我想的是，把椭圆曲线 E = {y^2= x^3-2x+5} over Q 的点集作为一个空间。把它和 R=Q[X,Y]/(f) 这个ring做一个对应。E上的点对应于R的spectrum。

看看怎么往下走。

按两个思路走下去，看结果如何

[forecasting]

我的理解中，variety 进化到 scheme 是通过 coordinate ring。分两步：

1，k²空间的 variety，也就是 f ∈ k[x,y] 在 k² 中的零点。variety上有coodinate ring，就是 R=k[x,y]/(f)。Spec(R)和variety基本上有一一对应的关系，也就是R的一个prime ideal对应于variety上的一个点。

2，抽象化之后，直接考虑一个ring R。直接做 Spec(R)，作为一个拓扑空间。这就是scheme。

这想法合适吗？

[TheMatrix]

这想法合适吗？

啥意思？你觉得不对？

[FoxMe]

"R的一个prime ideal对应于variety上的一个点"是怎么回事？我看到过R的一个maximal ideal对应于variety上的一个点.

我的理解中，variety 进化到 scheme 是通过 coordinate ring。分两步：

1，k²空间的 variety，也就是 f ∈ k[x,y] 在 k² 中的零点。variety上有coodinate ring，就是 R=k[x,y]/(f)。Spec(R)和variety基本上有一一对应的关系，也就是R的一个prime ideal对应于variety上的一个点。

2，抽象化之后，直接考虑一个ring R。直接做 Spec(R)，作为一个拓扑空间。这就是scheme。

[TheMatrix]

"R的一个prime ideal对应于variety上的一个点"是怎么回事？我看到过R的一个maximal ideal对应于variety上的一个点.

对。variety上的点应该对应的是maximal ideal。

上升到Spec(R)的时候，定义为 {prime ideal} 而不是 {maximal ideal}，不知道这里的关键在哪。

[forecasting]

对。variety上的点应该对应的是maximal ideal。

上升到Spec(R)的时候，定义为 {prime ideal} 而不是 {maximal ideal}，不知道这里的关键在哪。

找几个最大理想试试，你会发现，两边不一定都是最大理想，但是，素理想就能保证两边都是素理想，所以最后选择素理想？

但是，为啥，怎么做到？找个坐标环试试？目的是什么？

variety上有coodinate ring，就是 R=k[x,y]/(f)。Spec(R)和variety基本上有一一对应的关系，也就是R的一个prime ideal对应于variety上的一个点。

[TheMatrix]

找几个最大理想试试，你会发现，两边不一定都是最大理想，但是，素理想就能保证两边都是素理想，所以最后选择素理想？

但是，为啥，怎么做到？找个坐标环试试？

你说的“两边”是哪两边？

[forecasting]

你说的“两边”是哪两边？

拓扑空间和环层啊。

你不觉得Scheme有一些想法是从微分几何里来的？比如底空间和切空间？

为啥对问号不感兴趣，只对用词感兴趣？

[forecasting]

觉得那些问号有必要澄清。

[TheMatrix]

拓扑空间和环层啊。

你不觉得Scheme有一些想法是从微分几何里来的？比如底空间和切空间？

为啥对问号不感兴趣，只对用词感兴趣？

我要先搞清楚你说的是什么啊。

我指的是这句话：

两边不一定都是最大理想，但是，素理想就能保证两边都是素理想

[TheMatrix]

觉得那些问号有必要澄清。

问题中也要用到concept和notation。这些也要弄清楚，省去后面很多误解。