画骰子，有几种方法？

[verdelite]

把一个正六面体画上1-6这6个数字；每面画一个（字的方向、和在其所在面上的位置不论）。要求1和6，2和5，3和4必须在相对的面上。那么一共有几种画法？

[Sunland]

两种

[verdelite]

两种

四维空间中正八面体，画1-8八个数字，要求1-8，2-7，3-6，4-5相对，有几种画法？

[TheMatrix]

四维空间中正八面体，画1-8八个数字，要求1-8，2-7，3-6，4-5相对，有几种画法？

往高维走就难了。

[verdelite]

往高维走就难了。

你再想想，不要拍脑门

[TheMatrix]

你再想想，不要拍脑门

我的意思是往高维走问题的难度就大了。

[YWY]

四维空间中正八面体，画1-8八个数字，要求1-8，2-7，3-6，4-5相对，有几种画法？

依旧是两种：左手系和右手系。这在任何维度都成立（一维二维也成立），前提是不能突破限定维度翻转正面体。比如在二维平面上画好坐标轴，给一个正方形，画4个数字（1-4相对，2-3相对），如果我们是蚂蚁（只能在平面的固定一侧爬动，有方向感），可以（在平面上）随意挪动正方形，当把正方形的中心和坐标系原点重合后，转动正方形使得从1到4的方向和x轴正方向一致，那么从2到3的方向只有两种可能：和y轴一致或相反。一维也如此，数轴给定方向后，线段两端点记为1-2，只有两种可能：从1到2的方向和数轴正方向一致或相反。

[verdelite]

依旧是两种：左手系和右手系。这在任何维度都成立（一维二维也成立），前提是不能突破限定维度翻转正面体。比如在二维平面上画好坐标轴，给一个正方形，画4个数字（1-4相对，2-3相对），如果我们是蚂蚁（只能在平面的固定一侧爬动，有方向感），可以（在平面上）随意挪动正方形，当把正方形的中心和坐标系原点重合后，转动正方形使得从1到4的方向和x轴重合，那么从2到3的方向只有两种可能：和y轴一致或相反。一维也如此，数轴给定方向后，线段两端点记为1-2，只有两种可能，从1到2的方向和数轴方向重合或相反。

是啊，这个问题都讨论过两次了，一次是学习外积空间N个基外积的时候，另外一次是讨论手性的时候。结果矩阵没认出来，我叫他别一拍脑袋就认为高维会难，他还不乐意。

[TheMatrix]

是啊，这个问题都讨论过两次了，一次是学习外积空间N个基外积的时候，另外一次是讨论手性的时候。结果矩阵没认出来，我叫他别一拍脑袋就认为高维会难，他还不乐意。

哦我还以为你不乐意了呢。误会了。：）

[fhnan]

猜测有5x3x2种画法

[verdelite]

依旧是两种：左手系和右手系。这在任何维度都成立（一维二维也成立），前提是不能突破限定维度翻转正面体。比如在二维平面上画好坐标轴，给一个正方形，画4个数字（1-4相对，2-3相对），如果我们是蚂蚁（只能在平面的固定一侧爬动，有方向感），可以（在平面上）随意挪动正方形，当把正方形的中心和坐标系原点重合后，转动正方形使得从1到4的方向和x轴正方向一致，那么从2到3的方向只有两种可能：和y轴一致或相反。一维也如此，数轴给定方向后，线段两端点记为1-2，只有两种可能：从1到2的方向和数轴正方向一致或相反。

昨天想了想，思维空间中的正八面体，其实其“面”是三维体。那么这个正八面体最好称为正超八面体，每个“面”为超面。

为了方便思考，取正交系x,y,z,w。那么先找到有四个这样的“超面”，xyz,xyw,xzw,yzw。每个这样的超面还有“对面”的一个超面。例如xyz对面也有一个超面xyz, 只是在w方向上平移了。

如果如YWY所说只有两种方向，则需要证明一个xyzw这样一个体，任意取反一个坐标轴上的值，这个体的“手性”取反。任意取反偶数个坐标值上的值，这个体的“手性”相同，即经过旋转变换后和原体不可区分。

为达到这个目的这里可能需要一个定一个性质，就是xyz, xyw, xzw, yzw这四个“超面”，每个都自己没有手性。可能就是所谓的“字的方向不论；在面上的位置也不论”。

如果允许超面有手性，答案可能就不是两种了。

[YWY]

昨天想了想，思维空间中的正八面体，其实其“面”是三维体。那么这个正八面体最好称为正超八面体，每个“面”为超面。

为了方便思考，取正交系x,y,z,w。那么先找到有四个这样的“超面”，xyz,xyw,xzw,yzw。每个这样的超面还有“对面”的一个超面。例如xyz对面也有一个超面xyz, 只是在w方向上平移了。

如果如YWY所说只有两种方向，则需要证明一个xyzw这样一个体，任意取反一个坐标轴上的值，这个体的“手性”取反。任意取反偶数个坐标值上的值，这个体的“手性”相同，即经过旋转变换后和原体不可区分。

为达到这个目的这里可能需要一个定一个性质，就是xyz, xyw, xzw, yzw这四个“超面”，每个都自己没有手性。可能就是所谓的“字的方向不论；在面上的位置也不论”。

如果允许超面有手性，答案可能就不是两种了。

你说的这个考虑，在3维正方形上也有。但关键是，你一开始问问题的时候，只是说每一个超面写一个数字，不考虑该超面的手性。即便要考虑超面的手性，也要在低维正方体的更低维的正方体上写数字啊。就比如三维正方体，你要想考虑其6个面（正方形）的手性的话，就要在正方体的棱上写数字。再深入的话，就需要在正方形的点、边、面上都写数字（并明确限定条件），然后讨论有多少种写法。可以从二维的正方形开始讨论。

[verdelite]

你说的这个考虑，在3维正方形上也有。但关键是，你一开始问问题的时候，只是说每一个超面写一个数字，不考虑该超面的手性。即便要考虑超面的手性，也要在低维正方体的更低维的正方体上写数字啊。就比如三维正方体，你要想考虑其6个面（正方形）的手性的话，就要在正方体的棱上写数字。再深入的话，就需要在正方形的点、边、面上都写数字（并明确限定条件），然后讨论有多少种写法。可以从二维的正方形开始讨论。

对。我想，写数字可能不是很好。改为刷颜色就好了。“超面”（四维时候是三维体）就是给超面内部空间都染上颜色。这样超面就没有手性了。

然而就算这样，如矩阵的想法，”只有两种情况”的结论也不一定对，还需要证明。

原题可能等同于：对一个没有手性的N-1维空间增加一个维度，其是不是只有两个方向。答案应该是对的吧。

[YWY]

对。我想，写数字可能不是很好。改为刷颜色就好了。“超面”（四维时候是三维体）就是给超面内部空间都染上颜色。这样超面就没有手性了。

然而就算这样，如矩阵的想法，”只有两种情况”的结论也不一定对，还需要证明。

原题可能等同于：对一个没有手性的N-1维空间增加一个维度，其是不是只有两个方向。答案应该是对的吧。

刷颜色也好，写数字也罢，都一样，就是给低维超面一个记号而已。三维骰子，6个面上的数字，就是标记那6个面的，不必在乎边边角角。

至于怎么严格证明“只有两种可能”，我只有直感：n维内积空间的标准基记作e₁, ..., e_n-1, e_n，随便一组单位正交基b₁, ..., b_n-1, b_n，我们都可以通过“旋转”把b₁, ..., b_n-1转到e₁, ..., e_n-1的位置，这时（转动后）b_n的位置只有两种可能：和e_n相同或相反，而且此时只剩下一维的自由度，再也不能转动了。不是证明，只是直感。

[Caravel]

刷颜色也好，写数字也罢，都一样，就是给低维超面一个记号而已。三维骰子，6个面上的数字，就是标记那6个面的，不必在乎边边角角。

至于怎么严格证明“只有两种可能”，我只有直感：n维内积空间的标准基记作e₁, ..., e_n-1, e_n，随便一组单位正交基b₁, ..., b_n-1, b_n，我们都可以通过“旋转”把b₁, ..., b_n-1转到e₁, ..., e_n-1的位置，这时（转动后）b_n的位置只有两种可能：和e_n相同或相反，而且此时只剩下一维的自由度，再也不能转动了。不是证明，只是直感。

做一条过原点向量从小的数字到大的数字的面，这样骰子问题就变成坐标轴标方向的问题

[YWY]

做一条过原点向量从小的数字到大的数字的面，这样骰子问题就变成坐标轴标方向的问题

对，最后归结为行列式值得正负问题。

[TheMatrix]

对，最后归结为行列式值得正负问题。

嗯。手性问题，和流形的可定向问题，虽然只有两个，但是并不容易理解，尤其是高维。

再加一个：Symm(N)的奇偶性问题。

[Caravel]

对，最后归结为行列式值得正负问题。

可以归结为一个抽象问题，就是寻找一个classification 不变量，给定N个向量{ei}, 寻找一个map到一个等价类set{ci}。 已知

1. 在旋转下不变
2。在单个向量flip下变
3。在任意两个向量交换下变

发现行列式正负，或者sgn( e1^ e2 ^ e3 )可以满足这些条件

[Caravel]

证明思路，任意两个构型之间可以通过N次交换向量ij，来实现。第二步证明任意交换两对就会返回自身得到的构型在。第一个显然。第二个需要考虑一下