三变量R^3->R函数可以编码成2变量函数R^2->R吗？

[（ヅ）]

• R^3测度跟R^2(or R)一样，所以应该有一个一一映射R^3 <->R^2 -> R，那么命题应该成立

• R^2是R^3的一个真子空间，所以不成立

应该采用哪种诠释？

[rgg]

线性的话是没有1-1映射的。因为零空间维度是3-2=1不会是1-1映射。
非线性的只要稍微加点条件例如连续、光滑什么的，都也不存在，因为可以对切空间引用上面的结论。
我还没想出有什么奇怪的1-1映射从R3<->R2.

[（ヅ）]

线性的话是没有1-1映射的。因为零空间维度是3-2=1不会是1-1映射。
非线性的只要稍微加点条件例如连续、光滑什么的，都也不存在，因为可以对切空间引用上面的结论。
我还没想出有什么奇怪的1-1映射从R3<->R2.

想到这个问题是因为，前几天看到有人讲有个理论是宇宙中所有信息都被映射在一个球面上，本质上是个2维世界

[rgg]

想到这个问题是因为，前几天看到有人讲有个理论是宇宙中所有信息都被映射在一个球面上，本质上是个2维世界

那个反而有可能。 一是这里不是函数R2->R, 而是量子态R2-无穷维希尔伯特空间的映射，二是量子态也不是任意映射，而是要满足物理理论的。就是：
能否存在一一映射从一个 (L(3,1) ->H)的固定子集到 L(2,1) ->H 的子集？ 比主贴要求弱多了。

[YWY]

• R^3测度跟R^2(or R)一样，所以应该有一个一一映射R^3 <->R^2 -> R，那么命题应该成立

• R^2是R^3的一个真子空间，所以不成立

应该采用哪种诠释？

理论上，R^3和R^2等势（same cardinality），就是说这两个集合之间存在一一对应（双射），但这个函数实际找起来就难了。

[（ヅ）]

理论上，R^3和R^2等势（same cardinality），就是说这两个集合之间存在一一对应（双射），但这个函数实际找起来就难了。

完了，我概念搞混了。是应该叫等势

[Caravel]

想到这个问题是因为，前几天看到有人讲有个理论是宇宙中所有信息都被映射在一个球面上，本质上是个2维世界

那个对应不需要这么严格，比方说，就是3维场论和2维场论之间的对应，场的维度甚至都可以不一样

[lbs]

当然可以。我们知道 R^3 和 R^2 是等势的，所以存在 bijection f: R^3 -> R^2
有了这个 bijection f 之后，你便可以自然地定义如下的 mapping g: (R^3->R) -> (R^2->R) by:
for a given mapping h: R^3->R, define g(h): R^2->R such that
g(h)( f (x) ) = h(x), \forall x \in R^3
（用通俗的话说，就是把诱导映射的原像给对接成 f 的像）
由于 f 是一个 bijection，我们推导可知 g 也是一个 bijection

其实这个很好理解，如果如上过程看起来太抽象的话，你就想想为什么定义在 (-1, 0) 上的函数可以和定义在 (0, 1) 上的函数可以一一对应就行了。事实上你就会发现，只要定义域本身可以做一一对应（在这个 trivial 的 case 里是简单的 “平移”），那定义域之上的函数全体的集合自然也可以做一一对应（只要把定义域本身按照 bijection 映射过去就行了）。

所以你的第一个诠释是对的（当然，你应该说集合的 “势”，而不是 “测度”， 这是两个完全不同的概念）。

这个过程和什么物理/量子/全息投影毫无关系。扯这些的统统零分。事实上物理里考虑的都是比较 “好” 的函数。在那些 “好” 的限制下（比如要求连续）你是无法对 R^3 和 R^2 建立一一对应的。R^3和R^2 不同胚。

最后，为什么存在 R^3 <-> R^2 的双射：
其实很简单，我们只要证明存在 R^2 和 R的双射（R^3同理）：
考虑R上 [0, 1) 的数字的十进制表示：
0.a1a2a3a4a5...
你只需要把小数点后的奇数位和偶数位分别拿出来，组成：
0.a1a3a5...
0.a2a4a6...
就构建了一个[0, 1) -> [0, 1)^2 的满射。再发挥你的想象力，便可以把 [0,1)^2 再映射到R^2 (随便用一个非线性变换都可以）。
所以我们可以找到R ->R^2 的满射。但同时也存在 R ->R^2 的单射（显然，直接嵌入），所以必存在 R<->R^2 双射 (Schröder–Bernstein theorem).