有趣的近似公式

[（ツ）]

sqrt(x^2 + y^2) ≈ 0.96x + 0.4y (原0.94 x + 0.4 y)

假设x >= y >= 0

精度(最大误差)在4%

还有哪些类似的近似公式？Doom的fast 1/sqrt(x)算最著名的吧

[YWY]

When x = 1 and y = 0, then sqrt(x^2 + y^2) = 0 but 0.94 x + 0.4 y = 0.94, which is off by 6%.

When x = 1 and y = 1, then sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(2) but 0.94 x + 0.4 y = 1.34, which is off by more than 5%.

I would rather use sqrt(x^2 + y^2) ≈ x + 0.4 y, where x >= y >= 0. Or maybe 1.1 x + 0.4 y is even better?

[（ツ）]

When x = 1 and y = 0, then sqrt(x^2 + y^2) = 0 but 0.94 x + 0.4 y = 0.94, which is off by 6%.

When x = 1 and y = 1, then sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(2) but 0.94 x + 0.4 y = 1.34, which is off by more than 5%.

I would rather use sqrt(x^2 + y^2) ≈ x + 0.4 y, where x >= y >= 0. Or maybe 1.1 x + 0.4 y is even better?

原文写错了，应该是0.96x + 0.4y

x的系数应该是一个(0,1)之间接近1的一个数，y的系数应该是应该小一些也在(0,1)之间

[YWY]

原文写错了，应该是0.96x + 0.4y

x的系数应该是一个(0,1)之间接近1的一个数，y的系数应该是应该小一些也在(0,1)之间

画一下图能看出，x + 0.4 y比0.96x + 0.4y更靠近sqrt(x^2 + y^2), where x >= y >= 0。

因为考虑的是%误差，我们可以把近似式的两边同除以x，得到sqrt(1^2 + (y/x)^2) ≈ 1 + 0.4 y/x, where 1 >= y/x >=0。你给的近似式就是sqrt(1^2 + (y/x)^2) ≈ 0.96 + 0.4 y/x, where 1 >= y/x >=0。把y/x换成x，我们来对比下面两个近似表达

sqrt(1 + x^2) ≈ 1 + 0.4 x 和 sqrt(1 + x^2) ≈ 0.96 + 0.4 x, where 1 >= x >= 0.

通过在[0, 1]区间画sqrt(1 + x^2)，1 + 0.4 x 和 0.96 + 0.4 x 这三个函数的图，能看出1 + 0.4 x更靠近sqrt(1 + x^2)。如果我们用稍大于1的数，误差%会更小，这也是sqrt(x^2 + y^2) ≈ 1.1 x + 0.4 y可能会更好的原因；当然1.1只是随手一写，可能1.06或1.12会更好一些。

[YWY]

Doom的fast 1/sqrt(x)算最著名的吧

好奇Doom的fast 1/sqrt(x)是怎么表述的。。。

[（ツ）]

画一下图能看出，x + 0.4 y比0.96x + 0.4y更靠近sqrt(x^2 + y^2), where x >= y >= 0。

因为考虑的是%误差，我们可以把近似式的两边同除以x，得到sqrt(1^2 + (y/x)^2) ≈ 1 + 0.4 y/x, where 1 >= y/x >=0。你给的近似式就是sqrt(1^2 + (y/x)^2) ≈ 0.96 + 0.4 y/x, where 1 >= y/x >=0。把y/x换成x，我们来对比下面两个近似表达

sqrt(1 + x^2) ≈ 1 + 0.4 x 和 sqrt(1 + x^2) ≈ 0.96 + 0.4 x, where 1 >= x >= 0.

通过在[0, 1]区间画sqrt(1 + x^2)，1 + 0.4 x 和 0.96 + 0.4 x 这三个函数的图，能看出1 + 0.4 x更靠近sqrt(1 + x^2)。如果我们用稍大于1的数，误差%会更小，这也是sqrt(x^2 + y^2) ≈ 1.1 x + 0.4 y可能会更好的原因；当然1.1只是随手一写，可能1.06或1.12会更好一些。

我用desmos画了，x + 0.4y当x = 1, y = 0.4的时候，sqrt(1+0.4^2) = 1.077, 1 + 0.4*0.4 = 1.16,相差7%

[（ツ）]

好奇Doom的fast 1/sqrt(x)是怎么表述的。。。

可以参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

[YWY]

可以参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

好的，我看看。

[（ツ）]

好的，我看看。

要算这个的原因是经常需要做归一化处理，(x, y, z) -> (x / sqrt(x^2 + y^2 + z^2), y / sqrt(x^2 + y^2 + z^2), z / sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

[YWY]

我用desmos画了，x + 0.4y当x = 1, y = 0.4的时候，sqrt(1+0.4^2) = 1.077, 1 + 0.4*0.4 = 1.16,相差7%

谢画图解释！你是对的

我只是在心里画了下图，没仔细画，误以为sqrt(1 + x^2)的图像是concave down 的（二阶导数为负的那种）。或者说，我心里想的其实是sqrt(1 + x)的图像，这是concave down的。换句话说，sqrt(1 + x) ≈ 1.1 + 0.4 x 应该差不多。

[nk]

可以参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

看了一下， 大知识用 x^{1/2} = 2^{log_2(x)/2}, 由于用的2,很多操作可以用 bit 的操作来实现。 当然为了避免数的溢出，需要做一些特殊处理。

[YWY]

sqrt(x^2 + y^2) ≈ 0.96x + 0.4y (原0.94 x + 0.4 y)

假设x >= y >= 0

精度(最大误差)在4%

还有哪些类似的近似公式？Doom的fast 1/sqrt(x)算最著名的吧

可以参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

还以为Doom的fast 1/sqrt(x)是一个类似于sqrt(x^2 + y^2) ≈ 0.96x + 0.4y 的近似表达式，原来是个程序。看来人们为了避免根号和除法发明了很多手段，学习了。

[nk]

要算这个的原因是经常需要做归一化处理，(x, y, z) -> (x / sqrt(x^2 + y^2 + z^2), y / sqrt(x^2 + y^2 + z^2), z / sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

好像你是需要速度，对精度要求不高

这个可以用分段（两段或者三段）函数来计算，会快很多，而且精度比直线会好的多。

[Caravel]

sqrt(x^2 + y^2) ≈ 0.96x + 0.4y (原0.94 x + 0.4 y)

假设x >= y >= 0

精度(最大误差)在4%

还有哪些类似的近似公式？Doom的fast 1/sqrt(x)算最著名的吧

这个感觉不对劲，对 x y 不对称

[（ツ）]

好像你是需要速度，对精度要求不高

这个可以用分段（两段或者三段）函数来计算，会快很多，而且精度比直线会好的多。

是的，用分段一次函数会精度提高，失去了简洁

[（ツ）]

这个感觉不对劲，对 x y 不对称

就是不失一般性假设。这样可以把整个\R^2平面上的定义域缩小到[0,1]\subset\R，方便讨论

[YWY]

这个感觉不对劲，对 x y 不对称

假设x >= y >= 0