复杂性源自折叠

[TheMatrix]

而且是屡次折叠，所以这里也有迭代。迭代也是必须的。

比如，长度为n的绳子，绕单位圆缠绕，一端固定在圆周某点上，另一端的落点随n的变化，这就是一个相当复杂的pattern了。

还有mod运算，用来生成伪随机数。mod就是折叠，而伪随机数就是复杂。

Mandelbrot set是迭代。里面有非线性的东西，非线性代表了折叠。折叠比非线性还非线性。

也可以说是两个不合拍的pattern，硬是要它们相互之间映射，还要多次映射。

甚至就说加法和乘法，这两个之间都可以产生复杂性。

[TheMatrix]

来看一个innocent序列：
a_n=1,2,3,4,....

太innocent了，第几步走到几都在掌控之中！:)

加一点复杂性：
b_n=√1,√2,√3,√4,....
不算太复杂 - 还在认识范围之内。

再加一点复杂性：
c_n=1/√1,1/√2,1/√3,1/√4,....
已经有点把控不住了。

再复杂一点：
d_n=ln(1),ln(2),ln(3),ln(4),....

再复杂一点：
e_n=exp(i*d_n)
相当于把d_n在圆上绕圈，然后看角度。

编织在一起：
z_n=c_n*e_n

把它们加起来：
zeta = Σ z_n

复杂性就是这么一点一点加上去。

现在要把它一点一点再解开来。

[TheMatrix]

序列就是无穷。无穷编织还要纳入有穷。这就是两个截然不同的pattern之间的映射。

[hci]

对。

而且是屡次折叠，所以这里也有迭代。迭代也是必须的。

比如，长度为n的绳子，绕单位圆缠绕，一端固定在圆周某点上，另一端的落点随n的变化，这就是一个相当复杂的pattern了。

还有mod运算，用来生成伪随机数。mod就是折叠，而伪随机数就是复杂。

Mandelbrot set是迭代。里面有非线性的东西，非线性代表了折叠。折叠比非线性还非线性。

也可以说是两个不合拍的pattern，硬是要它们相互之间映射，还要多次映射。

甚至就说加法和乘法，这两个之间都可以产生复杂性。

[Caravel]

来看一个innocent序列：
a_n=1,2,3,4,....

太innocent了，第几步走到几都在掌控之中！:)

加一点复杂性：
b_n=√1,√2,√3,√4,....
不算太复杂 - 还在认识范围之内。

再加一点复杂性：
c_n=1/√1,1/√2,1/√3,1/√4,....
已经有点把控不住了。

再复杂一点：
d_n=ln(1),ln(2),ln(3),ln(4),....

再复杂一点：
e_n=exp(i*d_n)
相当于把d_n在圆上绕圈，然后看角度。

编织在一起：
z_n=c_n*e_n

把它们加起来：
zeta = Σ z_n

复杂性就是这么一点一点加上去。

现在要把它一点一点再解开来。

听着有点道理，折叠什么意思？

[TheMatrix]

来看一个innocent序列：
a_n=1,2,3,4,....

太innocent了，第几步走到几都在掌控之中！:)

加一点复杂性：
b_n=√1,√2,√3,√4,....
不算太复杂 - 还在认识范围之内。

再加一点复杂性：
c_n=1/√1,1/√2,1/√3,1/√4,....
已经有点把控不住了。

再复杂一点：
d_n=ln(1),ln(2),ln(3),ln(4),....

再复杂一点：
e_n=exp(i*d_n)
相当于把d_n在圆上绕圈，然后看角度。

编织在一起：
z_n=c_n*e_n

把它们加起来：
zeta = Σ z_n

复杂性就是这么一点一点加上去。

现在要把它一点一点再解开来。

收敛性上，可以研究一下这个函数：
z(x) = (1/√x)e^{i f(x)}

f(x)是实变实函数，单调递增。z(x)可以积分，从1到无穷。f(x)单增越快，积分的收敛性就越好。f(x)=ln(x)的时候，也是收敛的。

e^{i f(x)}这部分，有傅里叶变换的意思。它的收敛性，是数学分析的一个主题。

[TheMatrix]

听着有点道理，折叠什么意思？

折叠我想象成取模 - mod，modulo。

或者想象成取小数部分 - [nπ]，也就是nπ去掉整数部分，只保留小数部分。f(n)=[nπ]，这个函数是复杂的。

[牛河梁]

大概是映射的意思吧。楼主说的无穷序列及其映射（包括傅立叶变换）还是可数的。本质上并不“复杂”。

“复杂”的来源于图灵证明的不存在一个通用过程（算法）能给出每一种可数（离散整数集）映射的结果。由于没有通解（一般解），每一种映射需要独立研究，可以看成是“复杂”的。

听着有点道理，折叠什么意思？