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#1 Σ 1/(1+n^2)
发表于 ： 2024年 1月 13日 17:45
由 TheMatrix
证明
Σn=1 1/(1+n2) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...
#2 Re: Σ 1/(1+n^2)
发表于 ： 2024年 1月 13日 21:32
由 changbaihou
TheMatrix 写了： 2024年 1月 13日 17:45
证明
Σ
n=1 1/(1+n
2) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...
可能需要改一改才对，比如改成\sum_{k=0}^{\infty}(\zeta(4k+2)-\zeta(4k)).
#3 Re: Σ 1/(1+n^2)
发表于 ： 2024年 1月 13日 22:03
由 TheMatrix
changbaihou 写了： 2024年 1月 13日 21:32
可能需要改一改才对，比如改成\sum_{k=0}^{\infty}(\zeta(4k+2)-\zeta(4k)).
那不是差不多嘛？
另外，你这个好像相减的方向不对吧？ζ(4k+2) < ζ(4k)，你这个减出来是负的，而 Σ 1/(1+n
2) 是正的。
#4 Re: Σ 1/(1+n^2)
发表于 ： 2024年 1月 14日 16:15
由 TheMatrix
TheMatrix 写了： 2024年 1月 13日 17:45
证明
Σ
n=1 1/(1+n
2) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...
Start with
1/(1-x)=1+x+x
2+...
1/(1+x)=1-x+x
2-x
3+...
1/(1+x
2)=1-x
2+x
4-x
6+...
令 x=1/y，这样y的收敛区间从 x<1 变为等价的 y>1：
1/(1+1/y
2) = 1-1/y
2+1/y
4-1/y
6+...
1/(1+y
2) = 1/y
2-1/y
4+1/y
6-...
所以
1/(1+n
2) = 1/n
2-1/n
4+1/n
6-...
写出阵列：
1/(1+1
2) = 1/1
2-1/1
4+1/1
6-...
1/(1+2
2) = 1/2
2-1/2
4+1/2
6-...
1/(1+3
2) = 1/3
2-1/3
4+1/3
6-...
全部加起来，竖着看，就得到：
Σ
n=1 1/(1+n
2) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...
#5 Re: Σ 1/(1+n^2)
发表于 ： 2024年 1月 14日 18:22
由 TheMatrix
changbaihou 写了： 2024年 1月 13日 21:32
可能需要改一改才对，比如改成\sum_{k=0}^{\infty}(\zeta(4k+2)-\zeta(4k)).
哦。刚明白你这个是对的。我那个差了1/2，刚好是-ζ(0)。
#6 Re: Σ 1/(1+n^2)
发表于 ： 2024年 1月 14日 19:15
由 randomatrices
我也刚看明白，你那个1/2是你的推导中唯一用到的不收敛级数
TheMatrix 写了： 2024年 1月 14日 18:22
哦。刚明白你这个是对的。我那个差了1/2，刚好是-ζ(0)。